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Dimostriamo che le uniche soluzioni sono $(5,2)$,$(2,5)$ Intanto si nota per verifica diretta che $p$ e $q$ non possono essere entrambi uguali a $2$ Si noti anche la simmetria dell'espressione in $p$ e $q$. Verifico ora cosa succede se uno dei $2$ è pari. WLOG $p=2$. Segue che $q\mid 4+1\Rightarrow ...

Si nota che l'invariante è la somma dei reciproci di tutti i prodotti possibili fra elementi dell'insieme di partenza. (Domanda: in gara lo dovrei dimostrare rigorosamente o basta farlo vedere per, che so, 4 elementi?) Chiamiamo $I(2001)$ questa quantità. Quando mi resta solo un elemento scritto sul...

Bella soluzione! La mia è parecchio più brutta: Sia $m-n=k$. Siano inoltre $\operatorname {gcd} (n,k)=d$ $\operatorname {gcd} (n+1,k)=b$ $n=dt$ $n+1=be$ $k=dc=bl$ Vale ovviamente per ipotesi di coprimalità $\operatorname {gcd} (t,c)=\operatorname {gcd} (e,l)=1\Rightarrow \operatorname {gcd}(t,t+c)=\...

Benvenuto e buona permanenza

Mostrare che per ogni coppia di interi positivi $m>n$ vale la seguente disuguaglianza
$\operatorname {lcm} (m,n)+\operatorname {lcm} (m+1,n+1)>\dfrac {2mn} {\sqrt {m-n}}$
dove $\operatorname {lcm} (x,y)$ è il minimo comune multiplo fra $x$ e $y$

Questo è quel problema che ti dicevo che non avevo risolto e di cui non ho la soluzione... Comunque io l'avevo interpretato che devono esistere contemporaneamente le pedine che rimuovi, quindi nel caso della forma a "L" posso levarci solo 1 tassellino $2\times 1$. Può darsi che però l'abbi...

Qualche hint? Ho risolto l'equazione iniziale mod p, però poi se continuo mi viene fuori una specie di catena infinita di possibilità che non si ferma più...

Scusa ma non ho capito: è il testo di un esercizio oppure una cosa che ti piacerebbe fosse vera ma che forse non lo è? (a occhio ponendo x=y=1 mi sa che non viene un quadrato perfetto...) Poi x e y devono essere coprimi?

Da una griglia $20\times 20$ sono rimossi $20$ rettangoli di dimensioni $1\times 20$, $1\times 19$,... $1\times 1$, dove i lati dei rettangoli giacciono sulle linee della griglia. Mostrare che possono essere rimossi almeno $85$ rettangoli $1\times 2$ dalle caselle restanti.

Giusto

Abbiamo una tabella quadrata $10\times 10$, le cui caselle sono riempite con numeri che non sono maggiori di $10$. Due numeri che compaiono su caselle adiacenti sia per lati sia diagonalmente (quindi una casella centrale sarà considerata adiacente a $8$ caselle) sono fra loro coprimi. Mostrare che q...

Anche io ho una soluzione che credo non sia rigorosa. Metto quindi in spoiler per non rovinarlo a quelli che lo vogliono risolvere più rigorosamente. L'equazione iniziale è equivalente a risolvere $\tan x -x=0$ 1)Notiamo Intanto che in esiste una ed una sola soluzione con ascissa $a_i$ in ogni inter...

Sì la risposta è corretta :) Appena ho un po' di tempo scrivo la mia soluzione. Per rispondere alla tua domanda Visto che il tuo numero è $\equiv 3 \pmod 4$, sia che sottragga uno, oppure che aggiunga uno e poi divida ottengo in ogni caso un pari, che è una posizione che fa vincere chi parte da lì (...

Un numero naturale è scritto su una lavagna. Due giocatori $A$ e $B$ a turni possono fare una delle seguenti mosse (una per turno) 1) Rimpiazzare il numero $n$ scritto sulla lavagna con $n-1$ 2) Rimpiazzare $n$ con $\displaystyle \lfloor (n+1)/2 \rfloor$ Vince il giocatore che per primo scrive $1$. ...

Boh comunque sia è già passata una settimana, quindi procedi pure col nuovo problema