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da Triarii
20 apr 2014, 22:59
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Primi egoisti
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Re: Primi egoisti

Dimostriamo che le uniche soluzioni sono $(5,2)$,$(2,5)$ Intanto si nota per verifica diretta che $p$ e $q$ non possono essere entrambi uguali a $2$ Si noti anche la simmetria dell'espressione in $p$ e $q$. Verifico ora cosa succede se uno dei $2$ è pari. WLOG $p=2$. Segue che $q\mid 4+1\Rightarrow ...
da Triarii
20 apr 2014, 18:48
Forum: Combinatoria
Argomento: Rimpiazzi
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Re: Rimpiazzi

Si nota che l'invariante è la somma dei reciproci di tutti i prodotti possibili fra elementi dell'insieme di partenza. (Domanda: in gara lo dovrei dimostrare rigorosamente o basta farlo vedere per, che so, 4 elementi?) Chiamiamo $I(2001)$ questa quantità. Quando mi resta solo un elemento scritto sul...
da Triarii
18 apr 2014, 17:29
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Disuguaglianza sui minimi comuni multipli
Risposte: 4
Visite : 3284

Re: Disuguaglianza sui minimi comuni multipli

Bella soluzione! La mia è parecchio più brutta: Sia $m-n=k$. Siano inoltre $\operatorname {gcd} (n,k)=d$ $\operatorname {gcd} (n+1,k)=b$ $n=dt$ $n+1=be$ $k=dc=bl$ Vale ovviamente per ipotesi di coprimalità $\operatorname {gcd} (t,c)=\operatorname {gcd} (e,l)=1\Rightarrow \operatorname {gcd}(t,t+c)=\...
da Triarii
17 apr 2014, 15:50
Forum: Ciao a tutti, mi presento:
Argomento: Ciao a tutti
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Re: Ciao a tutti

Benvenuto e buona permanenza :D
da Triarii
15 apr 2014, 22:27
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Disuguaglianza sui minimi comuni multipli
Risposte: 4
Visite : 3284

Disuguaglianza sui minimi comuni multipli

Mostrare che per ogni coppia di interi positivi $m>n$ vale la seguente disuguaglianza
$\operatorname {lcm} (m,n)+\operatorname {lcm} (m+1,n+1)>\dfrac {2mn} {\sqrt {m-n}}$
dove $\operatorname {lcm} (x,y)$ è il minimo comune multiplo fra $x$ e $y$
da Triarii
15 apr 2014, 19:20
Forum: Combinatoria
Argomento: Scacchiera russa
Risposte: 6
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Re: Scacchiera russa

Questo è quel problema che ti dicevo che non avevo risolto e di cui non ho la soluzione... Comunque io l'avevo interpretato che devono esistere contemporaneamente le pedine che rimuovi, quindi nel caso della forma a "L" posso levarci solo 1 tassellino $2\times 1$. Può darsi che però l'abbia interpre...
da Triarii
14 apr 2014, 21:50
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 177. Brutta sequenza modulo p
Risposte: 10
Visite : 8040

Re: 177. Brutta sequenza modulo p

Qualche hint? Ho risolto l'equazione iniziale mod p, però poi se continuo mi viene fuori una specie di catena infinita di possibilità che non si ferma più...
da Triarii
14 apr 2014, 21:48
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Quadrato perfetto
Risposte: 5
Visite : 3558

Re: Quadrato perfetto

Scusa ma non ho capito: è il testo di un esercizio oppure una cosa che ti piacerebbe fosse vera ma che forse non lo è? (a occhio ponendo x=y=1 mi sa che non viene un quadrato perfetto...) Poi x e y devono essere coprimi?
da Triarii
14 apr 2014, 17:16
Forum: Combinatoria
Argomento: Scacchiera russa
Risposte: 6
Visite : 3984

Scacchiera russa

Da una griglia $20\times 20$ sono rimossi $20$ rettangoli di dimensioni $1\times 20$, $1\times 19$,... $1\times 1$, dove i lati dei rettangoli giacciono sulle linee della griglia. Mostrare che possono essere rimossi almeno $85$ rettangoli $1\times 2$ dalle caselle restanti.
da Triarii
03 apr 2014, 22:41
Forum: Combinatoria
Argomento: Quadrato coprimo
Risposte: 2
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Re: Quadrato coprimo

Giusto :)
da Triarii
03 apr 2014, 20:03
Forum: Combinatoria
Argomento: Quadrato coprimo
Risposte: 2
Visite : 1548

Quadrato coprimo

Abbiamo una tabella quadrata $10\times 10$, le cui caselle sono riempite con numeri che non sono maggiori di $10$. Due numeri che compaiono su caselle adiacenti sia per lati sia diagonalmente (quindi una casella centrale sarà considerata adiacente a $8$ caselle) sono fra loro coprimi. Mostrare che q...
da Triarii
25 mar 2014, 18:08
Forum: Algebra
Argomento: Tangente fastidiosa!
Risposte: 4
Visite : 2006

Re: Tangente fastidiosa!

Anche io ho una soluzione che credo non sia rigorosa. Metto quindi in spoiler per non rovinarlo a quelli che lo vogliono risolvere più rigorosamente. L'equazione iniziale è equivalente a risolvere $\tan x -x=0$ 1)Notiamo Intanto che in esiste una ed una sola soluzione con ascissa $a_i$ in ogni inter...
da Triarii
22 mar 2014, 18:39
Forum: Combinatoria
Argomento: Un altro gioco
Risposte: 3
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Re: Un altro gioco

Sì la risposta è corretta :) Appena ho un po' di tempo scrivo la mia soluzione. Per rispondere alla tua domanda Visto che il tuo numero è $\equiv 3 \pmod 4$, sia che sottragga uno, oppure che aggiunga uno e poi divida ottengo in ogni caso un pari, che è una posizione che fa vincere chi parte da lì (...
da Triarii
22 mar 2014, 14:51
Forum: Combinatoria
Argomento: Un altro gioco
Risposte: 3
Visite : 1933

Un altro gioco

Un numero naturale è scritto su una lavagna. Due giocatori $A$ e $B$ a turni possono fare una delle seguenti mosse (una per turno) 1) Rimpiazzare il numero $n$ scritto sulla lavagna con $n-1$ 2) Rimpiazzare $n$ con $\displaystyle \lfloor (n+1)/2 \rfloor$ Vince il giocatore che per primo scrive $1$. ...
da Triarii
21 mar 2014, 21:33
Forum: Combinatoria
Argomento: 48. Scacchi
Risposte: 9
Visite : 3547

Re: 48. Scacchi

Boh comunque sia è già passata una settimana, quindi procedi pure col nuovo problema ;)