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da Talete
08 apr 2015, 19:31
Forum: Algebra
Argomento: 97. La solita più grande costante tale che...
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Re: 97. La solita più grande costante tale che...

Posso chiedere (a nome di tutti, credo) un piccolo hint ;) ?
da Talete
06 apr 2015, 17:15
Forum: Algebra
Argomento: La centesima disuguaglianza
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Re: La centesima disuguaglianza

Sì, ok, è vero anche questo ;) Però quando sei a:

\[\sum \frac{x+y}z\ge6\]

Ti basta usare AM-GM sulla sestupla $(x/y,y/z,z/x,x/z,z/y,y/x)$ e chiudi :)
da Talete
06 apr 2015, 13:07
Forum: Algebra
Argomento: La centesima disuguaglianza
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Re: La centesima disuguaglianza

Ah, ok! Grazie mille! ;)
da Talete
05 apr 2015, 21:35
Forum: Algebra
Argomento: La centesima disuguaglianza
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Re: La centesima disuguaglianza

Ah, sì, giusto! Usando Titu, devo dire che $ab+ac-a^2$ e cicliche sono maggiori di $0$, poiché se fosse $ab+ac-a^2\le0$, non potrei applicare Titu: infatti è Cauchy-Schwarz sulle $3$-uple $\{a^2/\sqrt{ab+ac-a^2}\}$ e $\{\sqrt{ab+ac-a^2}\}$, ma se $ab+ac-a^2\le0$, la sua radice non sta in $\mathbb{R}...
da Talete
05 apr 2015, 20:55
Forum: Algebra
Argomento: La centesima disuguaglianza
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Re: La centesima disuguaglianza

Sì, si fa anche per riarrangiamento. È vera anche per AM-GM, o per somma di quadrati; ma questo non nega che bunching sia più bello. ;)
da Talete
05 apr 2015, 20:42
Forum: Algebra
Argomento: La centesima disuguaglianza
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Re: La centesima disuguaglianza

Dovresti dire da qualche parte dove/come usi l'ipotesi che $a,b,c$ sono i lati di un triangolo. Se no rischi il -1. Mah, uso il fatto che sono positivi per poter usare bunching. Non va bene? ;) P.S.: Ovviamente giusta ... Se non é troppo potresti dirmi dove trovo qualcosa sul bunching ? Grazie Cred...
da Talete
05 apr 2015, 19:46
Forum: Algebra
Argomento: PREIMO 2013
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Re: PREIMO 2013

A quanto rimembro da quanto ho fatto per il Senior (era tra i problemi di ammissione) il risultato era $n=2014$ ;)
da Talete
05 apr 2015, 19:44
Forum: Algebra
Argomento: La centesima disuguaglianza
Risposte: 16
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Re: La centesima disuguaglianza

(le somme sono tutte cicliche) Moltiplico numeratore e denominatore per $a$: \[\sum\frac{a^2}{ab+ac-a^2}\ge3\] Uso il lemma di Titu e ottengo: \[LHS\ge \frac{(a+b+c)^2}{2\sum ab - \sum a^2}.\] Ora mi basta dimostrare che \[\frac{(a+b+c)^2}{2\sum ab - \sum a^2}\ge3 \Rightarrow \sum a^2+2\sum ab \ge 6...
da Talete
04 apr 2015, 14:21
Forum: Geometria
Argomento: PreIMO 2011/G1
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Re: PreIMO 2011/G1

Sì, ma se $ABC$ è equilatero allora $O=G$. ;) Le coordinate sarebbero $(\sin2\alpha:\sin2\beta:\sin2\gamma)$, ma $\alpha=\beta=\gamma$, quindi divido e ho $(1:1:1)$. :)
da Talete
04 apr 2015, 14:08
Forum: Geometria
Argomento: PreIMO 2011/G1
Risposte: 3
Visite : 1015

PreIMO 2011/G1

Riporto questo problema dal PreIMO 2011, di cui cerco una soluzione decente (leggasi: non in baricentriche). Sia $ABC$ un triangolo equilatero e sia $O$ il suo circocentro. Sia $M$ un punto del segmento $BC$ e siano $K$ ed $L$ le proiezioni di $M$ sui lati $AB$ e $AC$, rispettivamente. Dimostrare ch...
da Talete
31 mar 2015, 21:44
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Bocconi fase italiana 2014
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Re: Bocconi fase italiana 2014

Di niente, sono qui per questo ;)

Se hai altri problemi, sei il benvenuto! :) Io od altri ti risponderemo volentieri!
da Talete
31 mar 2015, 20:40
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Bocconi fase italiana 2014
Risposte: 7
Visite : 1320

Re: Bocconi fase italiana 2014

Grazie per i complimenti! ;) Cerco di spiegare al meglio, ma chiaramente non è facile spiegare qui, servirebbe sentire una spiegazione "dal vivo" per capire meglio :) Per il resto: no, aspetta. Io sopra ho riportato $6$ soluzioni, e non $3$; e inoltre $6!$ (sei fattoriale) non fa $6$, bensì $720$. A...
da Talete
31 mar 2015, 18:18
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Bocconi fase italiana 2014
Risposte: 7
Visite : 1320

Re: Bocconi fase italiana 2014

Ok, certamente. Wlog è semplicemente una sigla, significa "without loss of generality", cioè "senza perdita di generalità": posso dire che $p=19$ senza perdere la generalità perché alla fine mi basta cambiare e ricordarmi di mettere $q=19$ e $r=19$. Si dice "$a$ è congruo a $b$ modulo $m$" e si scri...
da Talete
31 mar 2015, 17:55
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Bocconi fase italiana 2014
Risposte: 7
Visite : 1320

Re: Bocconi fase italiana 2014

Si deve avere che \[pqr=19(p+q+r).\] Osserviamo modulo $19$. Allora $pqr\equiv0$, quindi uno (ed esattamente uno) dei tre primi è $19$. Wlog sia $p$. \[qr=19+q+r \Rightarrow q=\frac{19+r}{r-1}=1+\frac{20}{r-1}.\] Quindi si deve avere che $r-1\mid 20$. Quindi, i valori positivi che può assumere $r$ s...
da Talete
30 mar 2015, 19:50
Forum: Algebra
Argomento: Ero indeciso fra TdN e Algebra
Risposte: 9
Visite : 1471

Re: Ero indeciso fra TdN e Algebra

Ah, ok, grazie mille, e scusate... :( avevo capito male la consegna... quindi il rapporto può essere il quadrato di un qualsiasi razionale? Si mette male, allora... Dunque, dovrei fare una roba del genere: \[(x^2+2y^2)s^2=(2x^2+y^2)t^2 \Rightarrow x^2(s^2-2t^2)=y^2(t^2-2s^2)\] con $x,y,t,s \in \math...