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da spugna
13 ott 2018, 20:52
Forum: Algebra
Argomento: Sistema quadratico
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Re: Sistema quadratico

Allora, si era posto $x=\cot(\alpha)$ e $y=\cot(\beta)$ con $\alpha,\beta \in (0,\pi)$, e si era visto che definendo $\gamma=\pi-\alpha-\beta \in (-\pi,\pi)$ segue $z=\cot(\gamma)$ (che esiste perché $\gamma \neq 0$, altrimenti seguirebbe $\alpha+\beta=\pi$ e quindi $x=-y$, che però rende impossibil...
da spugna
12 ott 2018, 22:33
Forum: Algebra
Argomento: Sistema quadratico
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Re: Sistema quadratico

Intendi la parte in cui dico che $\alpha,\beta$ e $\gamma$ sono gli angoli di un triangolo?
da spugna
26 set 2018, 14:13
Forum: Algebra
Argomento: Sistema quadratico
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Re: Sistema quadratico

Osserviamo che se $(x,y,z)$ è una soluzione, lo è anche $(-x,-y,-z)$. La prima equazione ci dice che, a meno di cambiare i segni, le tre incognite sono le cotangenti degli angoli di un triangolo (dettagli nel testo nascosto)... Esistono sicuramente $\alpha,\beta \in (0,\pi)$ tali che $x=\cot(\alpha)...
da spugna
07 mag 2018, 17:35
Forum: Geometria
Argomento: Quadrilateri ciclici
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Re: Quadrilateri ciclici

$P$ e $Q$ sono le intersezioni tra la circonferenza circoscritta ad $ABC$ e la circonferenza di diametro $DE$, di cui chiamiamo $O$ il centro. Detto invece $M$ il punto medio di $XY$, la tesi è $M \in PQ$, cioè $M$ appartiene all'asse radicale delle due circonferenze, cioè $M$ ha la stessa potenza r...
da spugna
08 apr 2018, 09:41
Forum: Geometria
Argomento: Quando il triangolo ceviano è simile al triangolo pedale
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Re: Quando il triangolo ceviano è simile al triangolo pedale

Provo a rispolverare questo problema perché mi interessava... affronto il punto (a): Suppongo di aver chiamato $A,B,C$ i vertici procedendo in senso antiorario e facendo in modo che, detti $\alpha,\beta,\gamma$ i rispettivi angoli, $\alpha$ e $\gamma$ siano acuti (non è strettamente necessario, ma p...
da spugna
28 mar 2018, 16:41
Forum: Geometria
Argomento: Oldie but goodie
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Re: Oldie but goodie

Aggiunte le parti mancanti. Restano da dimostrare i due lemmi, e lo si può fare usando alcuni fatti basilari sui birapporti... 1) Siano $JK$ e $LM$ due corde di $\Gamma$ passanti per $U$, congiungiamo questi quattro punti con $P$ e prendiamo le intersezioni con $r$, ottenendo i punti $J',K',L',M'$, ...
da spugna
24 mar 2018, 19:59
Forum: Geometria
Argomento: Oldie but goodie
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Re: Oldie but goodie

Per ora scrivo una soluzione parziale, nel senso che mancano alcune dimostrazioni (ma le scriverò in un secondo momento)... Chiamo $P,Q$ le intersezioni di $VW$ e $\Gamma$, con $PV<PW$, e $r$ una retta non passante per $P$, ma la cui parallela per $P$ è tangente a $\Gamma$: posso allora mettere in c...
da spugna
11 ott 2017, 09:48
Forum: Algebra
Argomento: USA TSTST 2016 1
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Re: USA TSTST 2016 1

Piccolo hint:
Testo nascosto:
Divisioni con resto rispetto a entrambe le variabili.
da spugna
30 mar 2016, 21:57
Forum: Glossario e teoria di base
Argomento: Le coniche e gli ortocentri sono amici ?
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Re: Le coniche e gli ortocentri sono amici ?

Non so se questo fatto ha un nome, comunque è vero (forse serve anche l'ipotesi che la conica non sia degenere): nel testo nascosto c'è la mia dimostrazione Supponiamo che i vertici "fermi" del triangolo siano i punti $(\pm 1,0)$, che chiameremo $A$ e $B$, e consideriamo la funzione $f$ che manda il...
da spugna
29 mar 2016, 22:06
Forum: Algebra
Argomento: Somme di moduli
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Somme di moduli

Dati due numeri complessi non nulli z_1,z_2 tali che $\dfrac{z_1}{z_2} \notin \mathbb{R}$, si definisca $L=\{az_1+bz_2 | a,b \in \mathbb{Z} \}$ e si consideri la sommatoria $\sum\limits_{w \in L \setminus \{0\}} |w|^{-\alpha}$ con $\alpha \in \mathbb{R}$. 1) Dimostrare che se $\alpha=3$ la sommatori...
da spugna
02 mar 2016, 13:03
Forum: Matematica non elementare
Argomento: Tante palle in comune
Risposte: 1
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Re: Tante palle in comune

L'insieme $X$ delle palle prese in considerazione può essere visto come unione di insiemi del tipo $\{B \in X | r(B)>1/n \}$ al variare di $n$ negli interi positivi, dove $r(B)$ è il raggio di $B$. Se tutti questi insiemi fossero al più numerabili lo sarebbe anche $X$, pertanto abbiamo, per un certo...
da spugna
07 set 2014, 11:44
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Fatto noto sui Fibonacci
Risposte: 3
Visite : 3559

Re: Fatto noto sui Fibonacci

Si può dimostrare per induzione su $k$ Base: per $k=1$ ho che $F_{n+1}=F_{n-1}+F_n \Rightarrow F_{n+2}=F_{n-1}+2F_n \Rightarrow F_{n+3}=2F_{n-1}+3F_n \Rightarrow ...$ e in generale $F_{n+l}=F_lF_{n-1}+F_{l+1}F_n$ (1) (viene facilmente per induzione), per cui il polinomio cercato è $p_{1,l}(x,y)=F_lx...
da spugna
16 mag 2014, 00:22
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$
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Visite : 6703

Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Vabbè, mi pare che l'hint funzioni lo stesso...
Testo nascosto:
Quanto fa $\dfrac{f(x+1)}{f(x)}$ ?
da spugna
15 mag 2014, 23:42
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$
Risposte: 26
Visite : 6703

Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

lucaboss98 ha scritto: $ \binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x} = \dfrac{10^6!}{(x+1)!(10^6-x-1)!} - \dfrac{10^6!}{x!(10^6-x)!} = \dfrac{10^6! \cdot (10^6-x+x+1)}{(x+1)!(10^6-x)!} = \dfrac{(10^6+1)!}{(x+1)!(10^6-x)!} $
Credo ci sia un errore di segno nel penultimo passaggio...
da spugna
13 mag 2014, 19:26
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: [tex]n^3+3n=q^2[/tex]
Risposte: 6
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Re: [tex]n^3+3n=q^2[/tex]

Io lo avevo fatto notando che se $n$ ha un fattore primo diverso da 3 deve averlo con esponente pari, quindi $n$ è un quadrato perfetto o il triplo di un quadrato perfetto: nel primo caso va bene solo $n=1$ perché deve essere un quadrato anche $n^2+3$, mentre nel secondo si prova $n=48$ e $n=27$ e s...