OliForum Matematico

Sia $k$ un intero positivo, e sia $p(x)=x^3-4kx^2+5k^2x+k$. Sia inoltre $a_n$ una successione definita da $a_1=k$ e $a_{n+1}=p(a_n)$ per ogni $n\in\mathbb{Z^+}$. Dimostrare che ogni termine della successione eccetto il primo è divisibile per un primo che non divide nessuno dei termini precedenti.

Ovviamente giusta, senonarriviprimonikkioiotipikkio e viene dalla shortlist IMO 2011 (problema G6).

Hai dunque deciso di rivalutare queste fonti capitaliste?

IMO Shortlist 2009, problema A7.
E da qui capisci anche il perché di quelle faccine

Inutile dire che è buona

PS:

Gerald Lambeau ha scritto: ↑

26 giu 2017, 13:28

No tranquilli, non è il B2 del TST .

Quello nel pdf ha il testo giusto, ma in realtà anche sbagliato, perché non corrisponde al problema che è davvero stato usato come B2 nella gara

$$f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$$

Ma piuttosto, RosalieFGD che spamma in russo?

Non fu propriamente dato, ma comunque risale al 2013.

Per non avere il forum intasato di spam (tipo link pubblicitari o conti assurdi in baricentriche)

Ci sono un sacco di soluzioni diverse, metto un paio di hint per la mia (che sono tipo le prime cose che possono venire in mente, ma danno un'idea di che strada ho seguito): In base alle ipotesi che abbiamo, $AK$ non è una retta bella... Sempre in base alle ipotesi che abbiamo, se anche non ci fosse...

Sia $ABC$ un triangolo con $AB=AC$, e sia $D$ il punto medio di $AC$. La bisettrice di $\widehat{BAC}$ interseca la circonferenza per $D$, $B$ e $C$ in un punto $E$ interno al triangolo $ABC$. La retta $BD$ interseca la circonferenza per $A$, $E$ e $B$ in due punti $B$ e $F$. Le rette $AF$ e $BE$ si...

...potrei evitare di finire ogni volta in zona Macchiaroli! A dire il vero non ci sono finito con questo, ma con un altro che arriverà tra poco con il titolo giusto (dopo l'1 di poco fa questo era il 2, ma ha comunque contribuito molto all'avanzare dei minuti). Sia $r$ un intero positivo, e sia $a_0...

Bel problema e bella ambientazione (anche se sarebbe stata più adatta per ITA1 ), peccato solo che sia noto...

Sia $a_0,a_1,a_2,\ldots$ una successione di numeri reali definita come $$a_0=-1,\ \ \ \ \ \sum_{k=0}^{n}{\frac{a_{n-k}}{k+1}}=0\ \ \text{per}\ \ n\geq1.$$ Dimostrare che $a_n>0$ per $n\geq1$.