La ricerca ha trovato 39 risultati

da travelsga
19 mar 2010, 17:01
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Staffetta tdn
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Visite : 58317

Problema 57 Siano dati $ n,k $ interi positivi con $ n\ge k $. Determinare $ \displaystyle gcd\left(\binom{n}{k},\binom{n+1}{k},\cdots,\binom{n+k}{k}\right) $
da travelsga
16 mar 2010, 14:45
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Staffetta tdn
Risposte: 492
Visite : 58317

Considero q(x)=(x-1)(x-2)\cdots (x-(p-1))=x^{p-1}-c_1x^{p-2}+\cdots-c_{p-2}x+c_{p-1} Fatto 1 : c_1\equiv c_2\equiv\cdots\equiv c_{p-2}\equiv 0\pmod p e c_{p-1}=(p-1)!\equiv -1\pmod p Il polinomio p(x)=x^{p-1}-1 ha le stesse radici in \mathbb F_p di q(x) , dunque r(x)=q(x)-p(x) ha le stesse radici di...
da travelsga
26 nov 2009, 15:15
Forum: Algebra
Argomento: Vietnam TST 2005
Risposte: 10
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Propongo questa soluzione \displaystyle\frac{1}{3}\sum_{cyc}{(\frac{a}{a+b})^3}\ge\frac{1}{8} Per CM-AM ho che \displaystyle LHS\ge (\frac{1}{3}\sum_{cyc}{\frac{a}{a+b}})^3 Per omogeneità posso porre a+b+c=1 e riscrivere il RHS come \displaystyle (\frac{1}{3}\sum_{cyc}{a\cdot\frac{1}{1-c}})^3\ge\fra...
da travelsga
24 nov 2009, 19:01
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Elementary Mihailescu
Risposte: 1
Visite : 703

proviamo... Sia r un divisore primo di p , faccio nel testo la sostituzione x:=x^{\frac{p}{r}}=X semplificando l'equazione in X^r-y^q=1\Rightarrow X^r-1=y^q . Osservo che LHS=(X-1)\Phi_r(X) e considero un primo s che divide \Phi_r(X) ; ho che s|\Phi_r(X)|y^q\Rightarrow s|y , ma allora s|y|x-1\Righta...
da travelsga
16 ott 2009, 17:01
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 3 come ultima cifra
Risposte: 1
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Siano d_1<d_2<\cdots<d_k i divisori di n che hanno 3 per ultima cifra ovvero d_i\equiv 3\pmod{10}\forall 1\le i\le k . Definisco adesso \displaystyle c_i=\frac{n}{d_i} , chiaramente si ha c_k<c_{k-1}<\cdots<c_1 . Se c_i\not\equiv 3\pmod{10} per ogni 1\le i\le k allora \tau(n)\ge 2k e pertanto siamo ...
da travelsga
14 ott 2009, 16:01
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: France TST 2005
Risposte: 7
Visite : 1234

Allora... Riscrivo l'ipotesi come \displaystyle 4x^2+x+\frac{1}{16}=4y^2+y+\frac{1}{16}+x^2\Rightarrow (2x+\frac{1}{4})^2=(2y+\frac{1}{4})^2+x^2 Dunque ricavo (8x+1)^2=(8y+1)^2+(4x)^2 ossia (8x+1,8y+1,4x) è una terna pitagorica ed essendo gcd(8x+1,8y+1,4x)=1 è pure primitiva e parametrizzata da 4x=2...
da travelsga
16 lug 2009, 19:55
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Staffetta tdn
Risposte: 492
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Ok, tutto giusto :D

Chi prende il testimone?
da travelsga
13 lug 2009, 15:56
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Staffetta tdn
Risposte: 492
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Problema 31 (Austria 1973)
Si definisca $ g(k) $ il più grande divisore dispari di $ k $. Dimostrare che $ \displaystyle 0<\sum_{i=1}^n{\frac{g(i)}{i}}-\frac{2n}{3}<\frac{2}{3} $
da travelsga
13 lug 2009, 10:39
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Staffetta tdn
Risposte: 492
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\displaystyle\frac{a^2+b^2+1}{ab}=k (1). Dimostro che necessariamente si ha a=b . Sia (A,B) una soluzione della (1) che minimizza A+B e sia wlog A>B considero quindi la quadratica a^2-kBa+B^2+1=0 ; le soluzioni di tale equazione sono a_1=A e, dalle formule di Vieta, \displaystyle a_2=kB-A=\frac{B^2...
da travelsga
10 lug 2009, 11:38
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: p divide esattamente una radice
Risposte: 6
Visite : 1349

p divide esattamente una radice

Mostrare che $ p $ divide esattamente una radice di $ q(x)=x^2-2f_px+f_{p-1}f_{p+1}-2 $ dove $ f_n $ indica l'$ n $-esimo numero di Fibonacci e $ p $ è un primo maggiore di 5.
da travelsga
09 lug 2009, 10:58
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 16 è sempre residuo
Risposte: 2
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16 è sempre residuo

Mostrare che per ogni primo $ p $ esiste un intero $ x $ tale che $ p|x^8-16 $.
da travelsga
09 lug 2009, 10:54
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Staffetta tdn
Risposte: 492
Visite : 58317

Problema 25
Siano dati $ p_1<\cdots<p_n $ primi maggiori di 3. Dimostrare che $ \tau(2^{p_1p_2\cdots p_n}+1)\ge 2^{2^{n-1}} $ :D
da travelsga
08 lug 2009, 11:21
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Stage Senior 2009
Risposte: 202
Visite : 54271

Sono Viaggi Gabriele, nella domanda di iscrizione ho disgraziatamente dichiarato che avrei partecipato in maniera autonoma allo stage, purtroppo però sono sorti degli inconvenienti e temo di non potermi organizzare da solo; qualora la mia domanda venisse accolta è possibile aggiungermi a quelli che ...
da travelsga
04 lug 2009, 15:13
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Staffetta tdn
Risposte: 492
Visite : 58317

Lemma (1): \displaystyle\sum_{i=1}^n{\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor}=\sum_{i=1}^n{\tau(i)} Dim. lemma: Procedo per induzione, suppongo vera la tesi al passo n e la dimostro per n+1: LHS nel passaggio da n ad n+1 incrementa di un'unità per ogni divisore di n+1, pertanto aumenta di \tau(n+1) , s...
da travelsga
27 giu 2009, 11:36
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Somme simmetriche e congruenze modulo p
Risposte: 4
Visite : 943

Hint: p(x)=x^{\phi(n)}-1 ha le stesse radici del polinomio (x-a_1)...(x-a_{\phi(n)}) in Z_n