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da jordan
15 mar 2017, 15:30
Forum: Algebra
Argomento: Almeno un $a_i=1/2$
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Re: Almeno un $a_i=1/2$

Ottimo Simo ;)
da jordan
14 mar 2017, 17:57
Forum: Discorsi da birreria
Argomento: Oliforum contest 5th edition
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Visite : 2858

Re: Oliforum contest 5th edition

Ciao Federico, no, non l'ho dimenticato.. mancano solo gli ultimi, scusate il ritardo
da jordan
11 feb 2017, 05:11
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $x^p-y^q=1$ con $p\mid y$ e $q\mid x$
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Visite : 189

$x^p-y^q=1$ con $p\mid y$ e $q\mid x$

Siano $x,y\ge 2$ interi e $p,q\ge 3$ primi tali che
(i) $x^p-y^q=1$;
(ii) $p$ divide $y$;
(iii) $q$ divide $x$.

Problema: Mostrare che $y>p^{p/2}$.
da jordan
08 feb 2017, 12:51
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Residui dei numeri armonici
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Visite : 390

Re: Residui dei numeri armonici

Rilancio: a meno di errori da parte mia, è anche maggiore o uguale a \sqrt{\frac{p-1}{2}} (e questo per ogni numero primo, senza eccezioni). Giusto! Chiamata $N(p)$ la quantità cercata, la soluzione che avevo in mente (col senno di poi piu' complicata del necessario) mostra che $$N(p)\gg p^{1/3}.$$...
da jordan
06 feb 2017, 17:37
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Residui dei numeri armonici
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Visite : 390

Residui dei numeri armonici

(11. Da qui) Sia $p$ un primo sufficientemente grande. Mostrare che il numero di residui distinti presi dall'insieme
$$
\left\{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}: n=1,2,\ldots,p-1\right\}
$$
modulo $p$ è maggiore di $\sqrt[4]{p}$.
da jordan
06 feb 2017, 17:36
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Successioni $x_n$ e $y_n$ con $x_n+x_m=y_{n^2+m^2}$
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Successioni $x_n$ e $y_n$ con $x_n+x_m=y_{n^2+m^2}$

(10. Da qui) Siano $(x_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ e $(y_n)_{n\in \mathbf{Z}}$ due successioni di interi tali che $|x_{n+2}-x_n| \le 2$ e $x_n+x_m=y_{n^2+m^2}$ per ogni $n,m \in \mathbf{Z}$. Dimostrare che la successione degli $x_n$ prende al massimo $6$ valori distinti.
da jordan
06 feb 2017, 17:34
Forum: Geometria
Argomento: Minima somma dei quadrati delle distanze
Risposte: 7
Visite : 716

Minima somma dei quadrati delle distanze

(9. Da qui) Dato un triangolo $ABC$, sia $P$ il punto che minimizza la somma dei quadrati delle distanze dai lati del triangolo. Siano $D,E,F$ le proiezioni di $P$ sui lati del triangolo $ABC$. Mostrare che $P$ è il baricentro di $DEF$.
da jordan
06 feb 2017, 17:33
Forum: Algebra
Argomento: Almeno un $a_i=1/2$
Risposte: 3
Visite : 407

Almeno un $a_i=1/2$

(8. Da qui ) Dati $a_1,\ldots,a_n \in (0,1)$, definiamo $$ f(I)=\prod_{i \in I}a_i \cdot \prod_{j\notin I}(1-a_j) $$ per ogni $I\subseteq \{1,\ldots,n\}$. Sapendo che $$ \sum_{\substack{I\subseteq \{1,\ldots,n\} \\ |I| \text{ dispari }}}f(I)=\frac{1}{2}, $$ mostrare che almeno un $a_i$ deve essere $...
da jordan
06 feb 2017, 17:32
Forum: Algebra
Argomento: Matrice con prodotti delle colonne costanti
Risposte: 1
Visite : 337

Matrice con prodotti delle colonne costanti

(7. Da qui) Dati $2n$ reali distinti $x_1,y_1,\ldots,x_n,y_n$, definiamo la matrice $n\times n$ dove l'elemento nella posizione $(i,j)$ è $x_i+y_j$ per ogni $i,j=1,\ldots,n$. Dimostrare che se il prodotto dei numeri in ogni colonna è lo stesso, allora il prodotto dei numeri in ogni riga è lo stesso.
da jordan
06 feb 2017, 17:30
Forum: Algebra
Argomento: Disuguaglianza $x^xy^yz^z \ge 1$
Risposte: 0
Visite : 233

Disuguaglianza $x^xy^yz^z \ge 1$

(6. Da qui) Siano reali $x,y,z>0$ tali che $x+y+z=\sqrt[5]{x}+\sqrt[5]{y}+\sqrt[5]{z}$. Mostrare che $x^xy^yz^z \ge 1$.
da jordan
06 feb 2017, 17:29
Forum: Combinatoria
Argomento: Partizioni di $\{3,4,\ldots,n\}$
Risposte: 2
Visite : 370

Partizioni di $\{3,4,\ldots,n\}$

(5. Da qui) Determinare il più piccolo intero $n>3$ tale che, qualunque sia la partizione di $\{3,4,\ldots,n\}$ in due insiemi, allora almeno uno dei due insiemi contiene tre numeri $a,b,c$ (non necessariamente distinti) tali che $ab=c$.
da jordan
06 feb 2017, 17:28
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Primi $n$ primi come sumset
Risposte: 0
Visite : 172

Primi $n$ primi come sumset

(4. Da qui ) Sia $p_n$ l'$n$-esimo primo (cioè $p_1=2$, $p_2=3$, $\ldots$) e definiamo $$ X_n=\{0\}\cup \{p_1,\ldots,p_n\} $$ per ogni intero positivo $n$. Trovare tutti gli $n$ tali che esistono $A,B \subseteq \mathbf{N}$ per cui $|A|, |B| \ge 2$ e $$ X_n=A+B, $$ dove $A+B:=\{a+b: a \in A, b \in B\...
da jordan
06 feb 2017, 17:27
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $2016/2017$ come rapporto di fattoriali
Risposte: 0
Visite : 217

$2016/2017$ come rapporto di fattoriali

(3. Da qui) Esistono primi $p_1,\ldots,p_k$ e $q_1,\ldots,q_n$ non necessariamente distinti tali che
$$
p_1!\cdots p_k!\cdot 2017 = q_1! \cdots q_n!\cdot 2016\,\,\,\,\,\,?
$$
da jordan
06 feb 2017, 17:26
Forum: Geometria
Argomento: Quadrilateri con quadrati e triangoli
Risposte: 0
Visite : 231

Quadrilateri con quadrati e triangoli

(2. Da qui) Quali sono i quadrilateri che possono essere tassellati (cioè ricoperti, senza sovrapposizioni) con quadrati e triangoli equilateri di lato unitario?
da jordan
06 feb 2017, 17:24
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Ogni cifra di $n$ divide $n$
Risposte: 1
Visite : 303

Ogni cifra di $n$ divide $n$

(1. Da qui) Sapendo che esiste un intero positivo che ha 7 cifre diverse ed è multiplo di ognuna di esse, quali sono le sue cifre?

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