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da jordan
06 apr 2018, 17:35
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Chineasy
Risposte: 3
Visite : 896

Re: Chineasy

Fenu ha scritto:
30 mar 2018, 16:08
$3^{2h} - 2^{2k}=(3^h + 2^k)\cdot(3^h-2^k)=41$ [...] Alternativamente, essendo $(3^h-2^k)$ il piu' piccolo tra i due fattori, possiamo concludere che valga $1$.. Per Catalan ci basta controllare ora che $(h, k)= (1, 1)$ non e' soluzione.
Intendi $(h,k)=(2,3)$?
da jordan
02 apr 2018, 18:28
Forum: Matematica non elementare
Argomento: Famiglie disgiunte
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Visite : 498

Re: Famiglie disgiunte

Va bene, ora ho capito, mi pare che funzioni. Avrei alcuni suggerimenti riguardo come hai scritto la dimostrazione: 1. Se parti dallo spazio di Cantor $\{0,1\}^{\mathbf{N}}$ (che non usi mai) per poi identificarlo in una "quasi-biezione" con $[0,1)$, allora parti direttamente da $[0,1)$; 2. Al posto...
da jordan
02 apr 2018, 12:18
Forum: Matematica non elementare
Argomento: Famiglie disgiunte
Risposte: 5
Visite : 498

Re: Famiglie disgiunte

Ciao Riccardo, mi fa piacere che provi a risolverli :) Avrei alcuni dubbi a riguardo: 1) Cosa significa $\frac{m_k}{n_k} \le f < \frac{m_k+1}{n_k}$? 2) Cosa significa $f<g$? Intendi l'ordine prodotto $f(k)\le g(k)$ per ogni $k$ e $f(k)<g(k)$ per almeno un $k$? (In questo caso "$\le$" sarebbe un ordi...
da jordan
31 mar 2018, 14:22
Forum: Matematica non elementare
Argomento: Famiglie disgiunte
Risposte: 5
Visite : 498

Famiglie disgiunte

Mostrare che esiste una collezione $(A_i)_{i \in I}$ di sottoinsiemi infiniti di interi positivi tali che:
(i) $A_i \cap A_j$ è finito per ogni $i\neq j$;
(ii) $I$ non è numerabile.
da jordan
26 mar 2018, 22:31
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Differenza tra potenze consecutive
Risposte: 5
Visite : 813

Re: Differenza tra potenze consecutive

Per insieme sindetico, vedi qui. Riguardo "densità", invece, ci sono diversi possibili interpretazioni, di solito si intende la "densità superiore asintotica" $\mathrm{d}^\star(X)=\limsup_{n\to \infty}\frac{1}{n}|X\cap [1,n]|$ per ogni $X\subseteq \mathbf{N}$. Ora, chi parafrasa? :roll:
da jordan
23 mar 2018, 19:01
Forum: Matematica non elementare
Argomento: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$
Risposte: 14
Visite : 1317

Re: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$

Grazie a Sam prima di tutto per la pazienza. Sembra anche a me che la soluzione esplicita sia corretta (ero scettico a riguardo). Riccardo, la definizione della funzione era chiara, ma non riuscivo a capire perchè funzionasse (per lo meno, non dove volessi utilizzare il teorema di riordinamento). Ho...
da jordan
18 mar 2018, 17:49
Forum: Matematica non elementare
Argomento: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$
Risposte: 14
Visite : 1317

Re: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$

Ciao Riccardo, l'espansione decimale non è unica, ma ammettiamo di prendere la "piu' corta" possibile. Ora, fissiamo un reale $x$ e come suo intorno $I$ prendiamo wlog tutti i reali che hanno le stesse cifre in base $10$ fino a $k$ cifre dopo la virgola (cioè fino a $x_{n_x+k}$). Come usi Riemann-Di...
da jordan
08 mar 2018, 18:56
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Differenza tra potenze consecutive
Risposte: 5
Visite : 813

Differenza tra potenze consecutive

Sia $a_1,a_2,\ldots$ la successione ordinata delle potenze, i.e., $1,4,8,9,16,25,\ldots$. E' famosa la congettura di Pillai: "Per $k>0$, esiste $N>0$ tale che $a_{n+1}-a_n \ge k$ per ogni $n\ge N$." Dimostrare una versione debole: "Per ogni $k>0$, esistono infiniti $n$ tali che $a_{n+1}-a_n \ge k$."
da jordan
19 feb 2018, 18:38
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $x^{-1/2}+y^{-1/2}=20^{-1/2}$
Risposte: 2
Visite : 547

Re: $x^{-1/2}+y^{-1/2}=20^{-1/2}$

Molto bene!
da jordan
18 feb 2018, 12:44
Forum: Matematica non elementare
Argomento: Permutazioni sulle serie
Risposte: 5
Visite : 1048

Re: Permutazioni sulle serie

Hint 1:
Testo nascosto:
Si esiste una permutazione $\sigma$ di quel tipo
Hint 2:
Testo nascosto:
E' possibile che $|\sigma(n)-n|=O(1)$?
da jordan
18 feb 2018, 12:39
Forum: Matematica non elementare
Argomento: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$
Risposte: 14
Visite : 1317

Re: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$

Piccolo hint:
Testo nascosto:
Si esiste
da jordan
17 feb 2018, 16:50
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $x^{-1/2}+y^{-1/2}=20^{-1/2}$
Risposte: 2
Visite : 547

$x^{-1/2}+y^{-1/2}=20^{-1/2}$

Trovare tutte le soluzioni negli interi positivi di
$$
\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{20}}.
$$
da jordan
31 gen 2018, 17:50
Forum: Matematica non elementare
Argomento: Permutazioni sulle serie
Risposte: 5
Visite : 1048

Permutazioni sulle serie

Esiste una permutazione $\sigma: \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ tale che: (i) Se $\sum_{n\ge 0} x_n$ è una serie convergente allora $\sum_{n\ge 0} x_{\sigma(n)}$ è una serie convergente (ii) Esiste una serie $\sum_{n\ge 0} x_n$ non convergente tale che $\sum_{n\ge 0} x_{\sigma(n)}$ è una serie convergen...
da jordan
29 gen 2018, 22:57
Forum: Matematica non elementare
Argomento: $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$
Risposte: 14
Visite : 1317

$f(U)=\mathbf{R}$ per ogni $U$

Esiste una funzione $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ tale che $f(U)=\mathbf{R}$ per ogni aperto $U\neq \emptyset$?
da jordan
31 dic 2017, 17:30
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $\varphi(2^n-1)/(2^n-1)$
Risposte: 7
Visite : 1786

Re: $\varphi(2^n-1)/(2^n-1)$

Visto che è un po' difficile, c'è la soluzione su quest'articolo di Florian Luca (le domande "elementari" erano le prime due)