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da jordan
18 ott 2017, 17:29
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $\varphi(2^n-1)/(2^n-1)$
Risposte: 0
Visite : 188

$\varphi(2^n-1)/(2^n-1)$

Sia $\varepsilon>0$ fissato.

(a) Mostrare che esistono infiniti $n$ tali che
$$
\frac{\varphi(2^n-1)}{2^n-1}< \varepsilon.
$$

(b) Mostrare che esistono infiniti $n$ tali che
$$
\frac{\varphi(2^n-1)}{2^n-1}> 1-\varepsilon.
$$
da jordan
11 set 2017, 10:42
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: SNS 2017/4
Risposte: 4
Visite : 484

Re: SNS 2017/4

Vinci ha scritto:
11 set 2017, 08:12
Come faccio ad adattare le parentesi graffe e i simboli \lfloor e \rfloor all'altezza della frazione?
Con \left e \right: esempio
$$
\left\lfloor \sqrt{\frac{z}{4}}\right\rfloor .
$$
da jordan
22 lug 2017, 09:16
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: IMO 2017
Risposte: 10
Visite : 2070

Re: IMO 2017

Ah che bello, complimenti a tutti! :D
da jordan
16 giu 2017, 14:54
Forum: Algebra
Argomento: Sistema 3 eq in 4 incognite
Risposte: 7
Visite : 585

Re: Sistema 3 eq in 4 incognite

Esatto per le tre soluzioni nel caso che avessimo anche la quarta equazione.

Riguardo il caso con $k$, a occhio mi pare funzioni la stessa soluzione di sopra..
da jordan
14 giu 2017, 19:28
Forum: Algebra
Argomento: Sistema 3 eq in 4 incognite
Risposte: 7
Visite : 585

Re: Sistema 3 eq in 4 incognite

da jordan
14 giu 2017, 18:34
Forum: Algebra
Argomento: Sistema 3 eq in 4 incognite
Risposte: 7
Visite : 585

Re: Sistema 3 eq in 4 incognite

Mi pare corretto; e' un problema da MSE in cui c'era anche la quarta equazione mancante $yzt = y+z+t$ (quindi non so la fonte, magari è davvero un vecchio imo).
da jordan
14 giu 2017, 14:16
Forum: Algebra
Argomento: Sistema 3 eq in 4 incognite
Risposte: 7
Visite : 585

Sistema 3 eq in 4 incognite

Trovate tutte le soluzioni reali del seguente sistema:
$$\begin{array}{lcl}
xyz & = & x+y+z,\\
xyt & = & x+y+t,\\
xzt & = & x+z+t .\\
\end{array}$$
da jordan
28 mag 2017, 11:26
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Tanti primi tra i quadrati
Risposte: 2
Visite : 465

Re: Tanti primi tra i quadrati

Bonus: Mostrare che esistono infiniti $n$ tali che il numero di primi in $\{n^2,n^2+1,\ldots,(n+1)^2\}$ è maggiore di $\sqrt{n}$.
da jordan
10 apr 2017, 13:26
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: "DIOfantea" non è una bestemmia
Risposte: 11
Visite : 1515

Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

L'equazione è equivalente a
$$
(2x+y)^2=(4x^2-3)y^2
$$
ma $4x^2-3$ non puo' essere un quadrato se $|x|\ge 2$..
da jordan
09 apr 2017, 19:39
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: "DIOfantea" non è una bestemmia
Risposte: 11
Visite : 1515

Re: "DIOfantea" non è una bestemmia

Se $(x,y)=(4,2)$ allora $x\mid y^2$ e $x\nmid y$. Comunque, il membro di destra dell'equazione sembra un po' grande :)
da jordan
15 mar 2017, 15:30
Forum: Algebra
Argomento: Almeno un $a_i=1/2$
Risposte: 3
Visite : 773

Re: Almeno un $a_i=1/2$

Ottimo Simo ;)
da jordan
14 mar 2017, 17:57
Forum: Discorsi da birreria
Argomento: Oliforum contest 5th edition
Risposte: 9
Visite : 4327

Re: Oliforum contest 5th edition

Ciao Federico, no, non l'ho dimenticato.. mancano solo gli ultimi, scusate il ritardo
da jordan
11 feb 2017, 05:11
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $x^p-y^q=1$ con $p\mid y$ e $q\mid x$
Risposte: 0
Visite : 677

$x^p-y^q=1$ con $p\mid y$ e $q\mid x$

Siano $x,y\ge 2$ interi e $p,q\ge 3$ primi tali che
(i) $x^p-y^q=1$;
(ii) $p$ divide $y$;
(iii) $q$ divide $x$.

Problema: Mostrare che $y>p^{p/2}$.
da jordan
08 feb 2017, 12:51
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Residui dei numeri armonici
Risposte: 3
Visite : 829

Re: Residui dei numeri armonici

Rilancio: a meno di errori da parte mia, è anche maggiore o uguale a \sqrt{\frac{p-1}{2}} (e questo per ogni numero primo, senza eccezioni). Giusto! Chiamata $N(p)$ la quantità cercata, la soluzione che avevo in mente (col senno di poi piu' complicata del necessario) mostra che $$N(p)\gg p^{1/3}.$$...
da jordan
06 feb 2017, 17:37
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Residui dei numeri armonici
Risposte: 3
Visite : 829

Residui dei numeri armonici

(11. Da qui) Sia $p$ un primo sufficientemente grande. Mostrare che il numero di residui distinti presi dall'insieme
$$
\left\{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}: n=1,2,\ldots,p-1\right\}
$$
modulo $p$ è maggiore di $\sqrt[4]{p}$.