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La prima cosa da fare secondo me dovrebbe essere di guardare l'equazione modulo qualche primo/potenza di primo. Questo impone delle condizioni sugli esponenti, nella forma di congruenze modulo l'ordine moltiplicativo della base. Per usare l'esempio di jordan, $5^x+7^y=2^z$ guardata modulo 4 diventa ...

Non è elementare, non ha applicazioni olimpiche e dà disuguaglianze troppo larghe per poter essere utile senza un computer, ma il metodo c'è: https://en.wikipedia.org/wiki/S-unit#S-unit_equation https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_forms_in_logarithms Fissati a,b,c si può calcolare esplicitamente un...

Voglio osservare che, in concreto, esiste un modo per ricavare la razionalizzazione che cerchi anche senza conoscere la teoria che c'è dietro. Solo che è molto laborioso. Tengo la tua notazione $$x=\sum_{i=1}^{n}\sqrt[b_i]{a_i}.$$ (Ho tolto i ± per alleggerire la notazione, ma non cambia niente) Per...

Dopo il fascismo, che impose al circolo matematico di Palermo di accettare solo membri italiani, azzerandone l'utilità, il circolo non si è mai più ripreso come struttura di ricerca. Esiste ancora come entità, ma il massimo che fa è organizzare sporadiche lezioni divulgative nei licei di Palermo app...

Se fosse vero questo lemma:… Il lemma è vero, ma manca un'ipotesi: devi assumere che l'insieme A ammetta una densità asintotica. La quantità definita sulla destra si chiama densità logaritmica dell'insieme A . Non è difficile dimostrare che se esiste la densità asintotica allora esiste anche la den...

Il polinomio è irriducibile su $ \mathbb{Q} $ perché l'abbiamo dimostrato, ed è riducibile su $ \mathbb{R} $ perché ha grado 4, e nessuna delle due cose implica l'altra, in generale.

Suvvia, il sistemino non viene poi così brutto. Per quanto argomentato prima sull'assenza di radici reali, e per il lemma di Gauss, rimane da escludere una scomposizione a coefficienti interi del tipo t^4+t^3+10t^2-4t+24=(t^2+at+b)(t^2+ct+d) , cioè, svolgendo i prodotti, rimane da dimostrare che il ...

Se non erro i campi quadratici UFD con $ D $ positivo sono ancora sconosciuti (a parte molti piccoli), mentre per $ D $ negativo sono finiti ed è noto l'elenco Sì, quelli con D negativo sono esattamente −1,−2,−3,−7,−11,−19,−43,−67,−163 (con l'accortezza, come ha detto darkcrystal, che per D congruo...

Concordo con l'eccellente darkcrystal: la presentazione migliore per chi intenda affrontare l'argomento in generale passa per il linguaggio, le nozioni e i risultati dell'algebra astratta, e non è adatta né ad un liceale sinceramente interessato ad approfondire l'argomento, né ad un olimpionico che ...

Maurizio, questa argomentazione ha lo stesso errore di quella di Half95: tu assumi che la configurazione "migliore" per il quadrato 4x4 sia ottenuta giustapponendo la configurazione "migliore" per il rettangolo 4x2 con un altro rettangolo 4x2, ma questo non deve essere necessariamente vero. Potrebbe...

jordan ha scritto:Bonus. Possiamo trovarle tutte?

Sì.

Dunque, il fatto che polinomi che coincidono per tutti i valori siano mo stesso polinomio è una cosa che, nel contesto di questo problema, puoi certamente dare per scontata (non si chiede certo di ridimostrare tutta la matematica dagli assiomi), però è importante avere in mente che *non è* una tauto...

L'attribuzione ad Einstein è apocrifa, come anche la storia del 2%… Qui qualche informazione: https://en.wikipedia.org/wiki/Zebra_Puzzle Nei repository Ubuntu c'è anche un pacchetto chiamato einstein con un gioco che genera ogni volta un nuovo problema nello stesso stile, e fornisce la griglia su cu...

Non capisco com'è che questa discussione si è trasformata in una Babele. Provo anch'io a riassumere la richiesta del problema, nella speranza di non essere di ulteriore confusione. Data una funzione $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dico che essa ha la Proprietà (A) se esiste un naturale n tale che $f^{(...