La ricerca ha trovato 232 risultati

da elianto84
26 mar 2018, 02:07
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Differenza tra potenze consecutive
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Re: Differenza tra potenze consecutive

Soluzione criptica: se le potenze fossero un insieme sindetico avrebbero densità positiva e la serie dei loro reciproci divergerebbe. Eppure converge.
da elianto84
07 mar 2018, 22:56
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Quasi Dirichlet
Risposte: 1
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Re: Quasi Dirichlet

Un grande classico. Sketch di dimostrazione: sia $\Phi_n(x)$ l'n-esimo polinomio ciclotomico, ossia il polinomio minimo su $\mathbb{Q}$ di una radice primitiva $n$-esima dell'unità. $\Phi_n$ ha grado $\varphi(n)$ e su ogni campo finito $\mathbb{F}_p$ esso si spezza come prodotto di irriducibili aven...
da elianto84
07 mar 2018, 22:35
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: All'arme!
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Re: All'arme!

Credo si possa scendere a $f(p)\ll p^{1/2+\varepsilon}$ senza troppa pena. Chiaramente l'insieme di cui $f(p)$ è cardinalità è un sottoinsieme di $[1,p-1]$ contenente $p-1$, per il Teorema di Wilson. Supponiamo che $m<p-1$ soddisfi $m!\equiv(p-1)!\equiv (-1)\pmod{p}$: in questo caso il prodotto $(m+...
da elianto84
07 mar 2018, 17:40
Forum: Geometria
Argomento: Trappola tripolare
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Trappola tripolare

È dato un triangolo $ABC$ e un punto $P$ distinto dal circocentro $O$ di $ABC$. Si dimostri che l'inversione circolare rispetto alla circonferenza circoscritta ad $ABC$ preserva le coordinate tripolari di $P$. Ricordo che le coordinate tripolari di $P$ sono date dalla terna di distanze $[PA,PB,PC]$,...
da elianto84
07 mar 2018, 17:20
Forum: Geometria
Argomento: Sometimes School Help
Risposte: 5
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Re: Sometimes School Help

d) Costruzione alternativa:
Testo nascosto:
Denoto con $P$ il piede della bisettrice uscente da $A$ sul lato $BC$.
Costruisco la circonferenza di Apollonio relativa a $BC$ passante per $P$: l'altra intersezione con la bisettrice data è il vertice $A$.
da elianto84
07 mar 2018, 00:35
Forum: Algebra
Argomento: Polinomio irriducibile riducibile dappertutto
Risposte: 3
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Re: Polinomio irriducibile riducibile dappertutto

Soluzione un po' tecnica: $p(x)=x^4+1$ non è esattamente un polinomio a caso, è l'ottavo polinomio ciclotomico $\Phi_8(x)$. Esso è palesemente un quadrato in $\mathbb{F}_2[x]$. Se consideriamo un primo $p$ dispari, il grado del campo di spezzamento di $\Phi_8(x)$ su $\mathbb{F}_p$ è dato dal minimo ...
da elianto84
07 mar 2018, 00:08
Forum: Combinatoria
Argomento: Pochi casi a mano
Risposte: 1
Visite : 697

Re: Pochi casi a mano

Non vorrei dire corbellerie, ma mi pare che scambiando tra loro due caselle di colore opposto in righe e colonne distinte, la differenza tra il numero di "permanenze nere" e il numero di "permanenze bianche" si preservi. Con un po' di mosse di questo tipo si possono ammucchiare tutte le caselle bian...
da elianto84
06 mar 2018, 23:49
Forum: Geometria
Argomento: Oldie but goodie
Risposte: 2
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Oldie but goodie

Dai tempi ormai polverosi e dimenticati di ProbleMatematicaMente, riesumo un problema interessante.

$U,V,W$ sono tre punti distinti all'interno di un cerchio $\Gamma$.
Si costruisca con riga e compasso un triangolo $ABC$ inscritto in $\Gamma$ tale per cui $U\in BC, V\in AC, W\in AB$.
da elianto84
06 mar 2018, 23:43
Forum: Geometria
Argomento: Problema parabolico di semplice risoluzione via trasformazioni non convenzionali.
Risposte: 2
Visite : 605

Problema parabolico di semplice risoluzione via trasformazioni non convenzionali.

Nel piano cartesiano un punto $P$ nel primo quadrante si trova al di sopra di una retta $\tau$ con coefficiente angolare positivo. Si dimostri per via sintetica che esistono due parabole tangenti a $\tau$, passanti per $P$ e aventi $x=0$ come asse di simmetria. Hint : che proprietà ha la trasformazi...
da elianto84
06 mar 2018, 22:13
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Ciclotomici
Risposte: 4
Visite : 1145

Re: Ciclotomici

Ingredienti: formula di inversione di Moebius per scrivere esplicitamente i polinomi ciclotomici in termini di quelli della forma $x^m-1$; derivata logaritmica e Teorema di De l'Hospital; formula di Faa di Bruno e somme di Ramanujan . Vedi un po' cosa riesci a cavare da qui: se serve, ripasso per st...
da elianto84
06 mar 2018, 20:39
Forum: Geometria
Argomento: L'ultimo di oggi
Risposte: 1
Visite : 1063

Re: L'ultimo di oggi

Che punto è $D$ nel triangolo di area massima, dai. "Maggiorizza l'area" nun se po' sentì. Detti $\alpha,\beta,\gamma$ gli angoli secondi cui $D$ "vede" i lati di $ABC$, abbiamo da massimizzare $\sqrt{pq}\sin\gamma+\sqrt{pr}\sin\beta+\sqrt{qr}\sin\gamma$ sotto il vincolo $\alpha+\beta+\gamma=2\pi$. ...
da elianto84
06 mar 2018, 20:28
Forum: Geometria
Argomento: Massimizzare aree
Risposte: 5
Visite : 1282

Re: Massimizzare aree

Ma che derivate... Se abbiamo un punto che si muove su un'ellisse, la sua distanza dall'asse maggiore è massima quando tale punto coincide con uno dei vertici dell'asse minore. In altri termini, le ellissi (interno incluso) sono corpi convessi simmetrici rispetto al loro centro, per cui è tutto bana...
da elianto84
06 mar 2018, 20:20
Forum: Geometria
Argomento: Minimo/massimo geometrico $w4g
Risposte: 2
Visite : 1416

Re: Minimo/massimo geometrico $w4g

In virtù del Teorema di Eulero sull'area del triangolo pedale (formula (8) su Mathworld), c'è solo da capire quali siano i valori stazionari di $\frac{OG^2}{R^2}$ o $\frac{a^2+b^2+c^2}{R^2}$. Pretty simple, I would dare to say.
da elianto84
04 mag 2017, 05:14
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Cesenatico 2017
Risposte: 19
Visite : 7253

Re: Cesenatico 2017

In bocca al lupo a tutti i partecipanti: dopo un esercizio ispirato dai punti di Kenmotu ed un altro ispirato dal Teorema di Lovasz sul numero cromatico dei grafi di Kneser, anche quest'anno avrete un'ottima ragione per odiarmi, non collegata a Kevin Spacey o alla morte di Han Solo nel Ritorno della...