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Soluzione criptica: se le potenze fossero un insieme sindetico avrebbero densità positiva e la serie dei loro reciproci divergerebbe. Eppure converge.

Un grande classico. Sketch di dimostrazione: sia $\Phi_n(x)$ l'n-esimo polinomio ciclotomico, ossia il polinomio minimo su $\mathbb{Q}$ di una radice primitiva $n$-esima dell'unità. $\Phi_n$ ha grado $\varphi(n)$ e su ogni campo finito $\mathbb{F}_p$ esso si spezza come prodotto di irriducibili aven...

Credo si possa scendere a $f(p)\ll p^{1/2+\varepsilon}$ senza troppa pena. Chiaramente l'insieme di cui $f(p)$ è cardinalità è un sottoinsieme di $[1,p-1]$ contenente $p-1$, per il Teorema di Wilson. Supponiamo che $m<p-1$ soddisfi $m!\equiv(p-1)!\equiv (-1)\pmod{p}$: in questo caso il prodotto $(m+...

È dato un triangolo $ABC$ e un punto $P$ distinto dal circocentro $O$ di $ABC$. Si dimostri che l'inversione circolare rispetto alla circonferenza circoscritta ad $ABC$ preserva le coordinate tripolari di $P$. Ricordo che le coordinate tripolari di $P$ sono date dalla terna di distanze $[PA,PB,PC]$,...

Very good!

d) Costruzione alternativa:

Soluzione un po' tecnica: $p(x)=x^4+1$ non è esattamente un polinomio a caso, è l'ottavo polinomio ciclotomico $\Phi_8(x)$. Esso è palesemente un quadrato in $\mathbb{F}_2[x]$. Se consideriamo un primo $p$ dispari, il grado del campo di spezzamento di $\Phi_8(x)$ su $\mathbb{F}_p$ è dato dal minimo ...

Non vorrei dire corbellerie, ma mi pare che scambiando tra loro due caselle di colore opposto in righe e colonne distinte, la differenza tra il numero di "permanenze nere" e il numero di "permanenze bianche" si preservi. Con un po' di mosse di questo tipo si possono ammucchiare tutte le caselle bian...

Dai tempi ormai polverosi e dimenticati di ProbleMatematicaMente, riesumo un problema interessante.

$U,V,W$ sono tre punti distinti all'interno di un cerchio $\Gamma$.
Si costruisca con riga e compasso un triangolo $ABC$ inscritto in $\Gamma$ tale per cui $U\in BC, V\in AC, W\in AB$.

Nel piano cartesiano un punto $P$ nel primo quadrante si trova al di sopra di una retta $\tau$ con coefficiente angolare positivo. Si dimostri per via sintetica che esistono due parabole tangenti a $\tau$, passanti per $P$ e aventi $x=0$ come asse di simmetria. Hint : che proprietà ha la trasformazi...

Ingredienti: formula di inversione di Moebius per scrivere esplicitamente i polinomi ciclotomici in termini di quelli della forma $x^m-1$; derivata logaritmica e Teorema di De l'Hospital; formula di Faa di Bruno e somme di Ramanujan . Vedi un po' cosa riesci a cavare da qui: se serve, ripasso per st...

Che punto è $D$ nel triangolo di area massima, dai. "Maggiorizza l'area" nun se po' sentì. Detti $\alpha,\beta,\gamma$ gli angoli secondi cui $D$ "vede" i lati di $ABC$, abbiamo da massimizzare $\sqrt{pq}\sin\gamma+\sqrt{pr}\sin\beta+\sqrt{qr}\sin\gamma$ sotto il vincolo $\alpha+\beta+\gamma=2\pi$. ...

Ma che derivate... Se abbiamo un punto che si muove su un'ellisse, la sua distanza dall'asse maggiore è massima quando tale punto coincide con uno dei vertici dell'asse minore. In altri termini, le ellissi (interno incluso) sono corpi convessi simmetrici rispetto al loro centro, per cui è tutto bana...

In virtù del Teorema di Eulero sull'area del triangolo pedale (formula (8) su Mathworld), c'è solo da capire quali siano i valori stazionari di $\frac{OG^2}{R^2}$ o $\frac{a^2+b^2+c^2}{R^2}$. Pretty simple, I would dare to say.

In bocca al lupo a tutti i partecipanti: dopo un esercizio ispirato dai punti di Kenmotu ed un altro ispirato dal Teorema di Lovasz sul numero cromatico dei grafi di Kneser, anche quest'anno avrete un'ottima ragione per odiarmi, non collegata a Kevin Spacey o alla morte di Han Solo nel Ritorno della...