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Giusto un'osservazione: $A$ ed $N$ giacciono simultaneamente su una circonferenza di centro $I$ e su una circonferenza di centro $O$ se e solo se $AO=ON$ e $AN\perp OI$. D'altra parte le rette perpendicolari ad $OI$ sono i luoghi per cui la somma delle distanze dai lati è costante. Pertanto è suffic...

Aggiungerei anche 3. Sfruttare il Teorema Limite Centrale (Teorema Centrale del Limite) per cui la distribuzione binomiale converge alla distribuzione gaussiana (quanto rapidamente è codificato nel Teorema di Berry-Esseen). In questi termini, la probabilità che un evento si presenti "almeno k volte ...

Beh, una volta compreso che il massimo è realizzato sul bordo bastano poche considerazioni di simmetria/convessità per concludere. E il massimo è realizzato sul bordo poiché il logaritmo della distanza da un punto fissato è una funzione armonica ;D

Soluzione criptica: se le potenze fossero un insieme sindetico avrebbero densità positiva e la serie dei loro reciproci divergerebbe. Eppure converge.

Un grande classico. Sketch di dimostrazione: sia $\Phi_n(x)$ l'n-esimo polinomio ciclotomico, ossia il polinomio minimo su $\mathbb{Q}$ di una radice primitiva $n$-esima dell'unità. $\Phi_n$ ha grado $\varphi(n)$ e su ogni campo finito $\mathbb{F}_p$ esso si spezza come prodotto di irriducibili aven...

Credo si possa scendere a $f(p)\ll p^{1/2+\varepsilon}$ senza troppa pena. Chiaramente l'insieme di cui $f(p)$ è cardinalità è un sottoinsieme di $[1,p-1]$ contenente $p-1$, per il Teorema di Wilson. Supponiamo che $m<p-1$ soddisfi $m!\equiv(p-1)!\equiv (-1)\pmod{p}$: in questo caso il prodotto $(m+...

È dato un triangolo $ABC$ e un punto $P$ distinto dal circocentro $O$ di $ABC$. Si dimostri che l'inversione circolare rispetto alla circonferenza circoscritta ad $ABC$ preserva le coordinate tripolari di $P$. Ricordo che le coordinate tripolari di $P$ sono date dalla terna di distanze $[PA,PB,PC]$,...

Very good!

d) Costruzione alternativa:

Soluzione un po' tecnica: $p(x)=x^4+1$ non è esattamente un polinomio a caso, è l'ottavo polinomio ciclotomico $\Phi_8(x)$. Esso è palesemente un quadrato in $\mathbb{F}_2[x]$. Se consideriamo un primo $p$ dispari, il grado del campo di spezzamento di $\Phi_8(x)$ su $\mathbb{F}_p$ è dato dal minimo ...

Non vorrei dire corbellerie, ma mi pare che scambiando tra loro due caselle di colore opposto in righe e colonne distinte, la differenza tra il numero di "permanenze nere" e il numero di "permanenze bianche" si preservi. Con un po' di mosse di questo tipo si possono ammucchiare tutte le caselle bian...

Dai tempi ormai polverosi e dimenticati di ProbleMatematicaMente, riesumo un problema interessante.

$U,V,W$ sono tre punti distinti all'interno di un cerchio $\Gamma$.
Si costruisca con riga e compasso un triangolo $ABC$ inscritto in $\Gamma$ tale per cui $U\in BC, V\in AC, W\in AB$.

Nel piano cartesiano un punto $P$ nel primo quadrante si trova al di sopra di una retta $\tau$ con coefficiente angolare positivo. Si dimostri per via sintetica che esistono due parabole tangenti a $\tau$, passanti per $P$ e aventi $x=0$ come asse di simmetria. Hint : che proprietà ha la trasformazi...

Ingredienti: formula di inversione di Moebius per scrivere esplicitamente i polinomi ciclotomici in termini di quelli della forma $x^m-1$; derivata logaritmica e Teorema di De l'Hospital; formula di Faa di Bruno e somme di Ramanujan . Vedi un po' cosa riesci a cavare da qui: se serve, ripasso per st...

Che punto è $D$ nel triangolo di area massima, dai. "Maggiorizza l'area" nun se po' sentì. Detti $\alpha,\beta,\gamma$ gli angoli secondi cui $D$ "vede" i lati di $ABC$, abbiamo da massimizzare $\sqrt{pq}\sin\gamma+\sqrt{pr}\sin\beta+\sqrt{qr}\sin\gamma$ sotto il vincolo $\alpha+\beta+\gamma=2\pi$. ...