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La distanza da un punto $P$ è una funzione convessa e differenziabile ovunque, tranne che nel punto $P$. Il gradiente della distanza da $P$ è il versore distanza. Segue che $PA+PB+PC$ è una funzione convessa che ha come gradiente la somma dei versori $PA,PB,PC$. In particolare $PA+PB+PC$ ha minimo i...

Feb2018.png Più semplicemente, l'area del poligono è otto volte l'area di un deltoide con diagonali perpendicolari. In questo deltoide la diagonale maggiore misura quanto metà della diagonale del quadrato, la diagonale minore misura quanto la differenza tra la diagonale del quadrato e il suo lato. ...

Grazie mille per le info, ci aggiorniamo

Presumo con considerazioni dimensionali ed algebriche, anche senza la comodità della notazione moderna. Tutti i triangoli rettangoli con cateti di lunghezze $a$ e $b$ sono congruenti, dunque *deve* esserci un modo di ricavare la lunghezza dell'ipotenusa $c$ solo in termini di $a$ e $b$, diciamo $c=f...

È un problema famoso, che essendo equivalente alla determinazione di una radice di un polinomio di terzo grado usualmente irriducibile, è insolubile con riga e compasso. Storicamente sono stati proposti diversi workaround: l'uso della trisettrice (guardacaso) di Ippia o della riga graduata di Archim...

I punti di Nagel e di Gergonne sono coniugati isotomici /endstory

Certo che sono cambiate le abitudini dai tempi in cui ero concorrente io, è desolante vedere così pochi messaggi (e così poche risposte) in un posto che vent'anni fa era una bolgia (nell'accezione positiva del termine). Anyway, col ritorno del vecchio tornano anche le soluzioni del vecchio, di dubbi...

Cerca "Gauss circle problem" su Wikipedia e/o dai un'occhiata a pagina 138 qui https://drive.google.com/file/d/0BxKdOV ... hMa2s/view

Salve a tutti, riappaio sul forum dopo molto tempo, sotto forma di referente del mio liceo, per chiedere informazioni sullo svolgimento dei Giochi di Archimede 2020. E' confermata la data 21 Novembre? E quali saranno le modalità di svolgimento della prova?

Giusto un'osservazione: $A$ ed $N$ giacciono simultaneamente su una circonferenza di centro $I$ e su una circonferenza di centro $O$ se e solo se $AO=ON$ e $AN\perp OI$. D'altra parte le rette perpendicolari ad $OI$ sono i luoghi per cui la somma delle distanze dai lati è costante. Pertanto è suffic...

Aggiungerei anche 3. Sfruttare il Teorema Limite Centrale (Teorema Centrale del Limite) per cui la distribuzione binomiale converge alla distribuzione gaussiana (quanto rapidamente è codificato nel Teorema di Berry-Esseen). In questi termini, la probabilità che un evento si presenti "almeno k volte ...

Beh, una volta compreso che il massimo è realizzato sul bordo bastano poche considerazioni di simmetria/convessità per concludere. E il massimo è realizzato sul bordo poiché il logaritmo della distanza da un punto fissato è una funzione armonica ;D

Soluzione criptica: se le potenze fossero un insieme sindetico avrebbero densità positiva e la serie dei loro reciproci divergerebbe. Eppure converge.

Un grande classico. Sketch di dimostrazione: sia $\Phi_n(x)$ l'n-esimo polinomio ciclotomico, ossia il polinomio minimo su $\mathbb{Q}$ di una radice primitiva $n$-esima dell'unità. $\Phi_n$ ha grado $\varphi(n)$ e su ogni campo finito $\mathbb{F}_p$ esso si spezza come prodotto di irriducibili aven...

Credo si possa scendere a $f(p)\ll p^{1/2+\varepsilon}$ senza troppa pena. Chiaramente l'insieme di cui $f(p)$ è cardinalità è un sottoinsieme di $[1,p-1]$ contenente $p-1$, per il Teorema di Wilson. Supponiamo che $m<p-1$ soddisfi $m!\equiv(p-1)!\equiv (-1)\pmod{p}$: in questo caso il prodotto $(m+...