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Sia $ABC$ un triangolo, $\gamma$ la sua circonferenza circoscritta. Siano $H$ il suo ortocentro; siano $A_1$, $B_1$ e $C_1$ i piedi delle altezze. Siano $M$ il punto medio di $BC$, $A'$ il diametralmente opposto di $A$ in $\gamma$. Sia $D=BC \cap B_1C_1$, cioè il quarto armonico di $A_1$ rispetto a ...

Scusa il ritardo nel rispondere, avavo accesso a internet limitato... Giuste tutte e tre. Con punti di Miquel intendevo quello di concorrenza delle circonferenze citate al punto 3 (http://mathworld.wolfram.com/MiquelsTheorem.html la versione della figura più in basso delle due). Io ho trovato quel n...

Sia $ABCD$ un quadrilatero inscritto in una circonferenza $\omega$ di centro $O$. Siano $P=AB \cap CD$, $Q=AD \cap BC$, $R=AC \cap BD$. Siano $P'=OP \cap QR$, $Q'=OQ \cap RP$, $R'=OR \cap PQ$. (1) Dimostrare che ciscuno dei quattro punti $O$, $P$, $Q$, $R$ è ortocentro del triangolo formato dagli al...

Siano $\omega$ una circonferenza e $B$ e $C$ due punti esterni ad essa. Sia $\gamma$ una circonferenza passante per $B$ e $C$ e tangente a $\omega$ in $T$; sia $M$ il punto medio dell'arco $BC$ di $\gamma$. Siano $P$ e $Q$ i punti di tangenza delle tangenti rispettivamente da $B$ e $C$ a $\omega$. T...

Correggetemi se ho sbagliato dei conti. Chiamo $x:=\frac{1}{\sqrt{bc}}$ , $y:=\frac{1}{\sqrt{ca}}$ , $z:=\frac{1}{\sqrt{ab}}$ con $x,y,z>0$. Vale $x^2+y^2+z^2=1$ e la tesi si riscrive come $$\sum_{cyc}{\frac{1}{\sqrt{1+\frac{x^2}{y^2z^2}}}} \leq \frac{3}{2}$$ cioè $$\sum_{cyc}{\frac{yz}{\sqrt{y^2z^...

Troleito br00tal ha scritto:

Testo nascosto:

Grante potere komplesso!

Ja!

Sia $X:=\Gamma_{CDE} \cap \Gamma_{BDF}$: vale $\widehat{FXE}=\widehat{FXD}+\widehat{DXE}=\widehat{FBD}+\widehat{DCE}=\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=\widehat{BAC}=\widehat{FAE}$ dove le uguaglianze tra angoli sono con angoli orientati e modulo $180^{\circ}$; quindi $AEFX$ è ciclico, cioè $X \in \Gamma_...

$M$ ed $N$ sono punti medi degli archi $AC$ e $AB$ rispettivamente. Siano $I_3$ e $I_4$ gli excentri relativi al vertice $G$ di $\Delta AGC$ e $\Delta AGB$ rispettivamente. $G$,$I_1$,$I_4$,$N$ allineati sulla bisettrice di $\widehat{AGB}$. $G$,$I_2$,$I_3$,$M$ allineati sulla bisettrice di $\widehat...

Come mai Bertolucci porta in maiuscolo il nome e non il cognome come tutti gli altri?

Ok, giusta, vai col prossimo.

Fonte del problema:

Sia \(ABC\) un triangolo, \( \gamma \) la sua circonferenza circoscritta; \( \omega \) una circonferenza tangente al lato \(BC\) in un punto \(D\), passante per \(A\) e per un altro punto \( E \in AC \). Sia \(M\) il punto medio di \(DE\): la retta \(CM\) interseca \(\gamma \) in \(F\). Tesi: \(\ang...

Sia \(x_1=BA_1\) , \(x_2=A_1C\) e analogamente \(y_1, y_2, z_1, z_2\) (rispettivamente \(CB_1, B_1A, AC_1, C_1B\)); sia \(R\) il raggio della circonferenza circoscritta ad \(ABC\). Per il teorema dei seni e per la formula trigonometrica per l'area vale: \(4R[ABC]=(x_1+x_2)(y_1+y_2)(z_1+z_2)\) \(4Ra=...