OliForum Matematico

Imho è una cosa pericolosa usare il bunching senza esplicitare i calcoli... è come saltare un passaggio, che in generale non è detto che sia scontato.

Spider

No, per ogni x appartenente a R, ma positivo.

Un problema carino dalla dispensa sulle disuguaglianze di Thomas Mildorf.

Sia $ P(x) $ un polinomio con coefficienti positivi. Dimostrare che se

$ \displaystyle P\left(\frac{1}{x}\right) \geq \frac{1}{P(x)} $

è vera per $ x = 1 $, allora è vera per ogni $ x > 0 $.

Spider

Bella.
Ma così a occhio mi sembra che non sia la sezione del forum appropriata...

Spider

Dimostrare che \forall a,b,c \in R^+ vale: 1) \displaystyle \frac{a^2+bc}{b+c} + \frac{b^2+ac}{a+c} + \frac{c^2+ab}{a+b} \geq a+b+c Essendo la disuguaglianza simmetrica, possiamo porre a \geq b \geq c . Osserviamo che: \displaystyle \frac{a^2+bc}{b+c} - b = \frac{a^2 - b^2}{b+c} Utilizzando questo ...

A parte il test finale disastroso :oops:, questo stage è stato davvero molto stimolante, non tanto (o non solo) per quello che si è fatto in loco, ma soprattutto per aver messo in evidenza le mie debolezze (una a caso: geometria? :P) Evito ulteriori giochi di parole sul WC :lol: Ciao, Salvatore/Spider

Mmm sei sicuro? Forse intendevi v_p(n^k - 1) \ge \alpha + v_p(k) ma è vero solo nel caso in cui \alpha>0 (come controesempio della tua affermazione prendi p=2 , n=5 , k=4 ) Ma soprattutto, perché usare i cannoni per uccidere le zanzare? :roll: Mi pare che la soluzione di Giggles fosse sufficienteme...

frengo ha scritto:....e continua la saga degli errori stupidissimi...
120, sbagliando la PRIMA(non avevo letto che gli interi erano distinti)
veramente di poco....vabbè lasciamo stare...

ciao ciao

Tranquillo, l'ho fatto pure io quell'errore.
Insieme ad alcuni altri.

Dovrei aver fatto 81.

Ciao!

Determinare tutte le soluzioni intere positive di:

$ \displaystyle\frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{3}{c} = 1 $

Salvatore

HiTLeuLeR ha scritto: Se per "ultima equazione" intendi la diofantea $ r^2 + s^2 + t^2 = 7w^2 $, allora la tua conclusione è sbagliata, ché questa possiede come soluzione (unica!) la quaterna $ (r,s,t,w) = (0,0,0,0) $. Il resto è ineccepibile, buon per te!

Dimentichi che avevo supposto $ w > 0 $

Spider

Osserviamo che: x^2 + 3x = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} (completamento del quadrato) e applicando la stessa trasformazione alle altre incognite l'equazione diventa: (x + \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{3}{2})^2 + (z + \frac{3}{2})^2 - \frac{7}{4} = 0 Ossia: (2x + 3)^2 + (2y + 3)^2 + (2z + 3)^2 = 7 ...

I fattori primi di a e b sono esttamente gli stessi, perchè dato un primo arbitrario p se p | a \quad e \quad a | b^2 \rightarrow p | b^2 \rightarrow p | b dato che p è primo. Analogamente p|b \quad e \quad b^2 | a^3 \rightarrow p| a^3 \rightarrow p | a . Quindi p| a è equivalente a p| b. Ok Inoltr...

Questo problema proviene dalle ottime dispense di Naoki Sato, peciò molti lo conosceranno già:

Dimostrare che se $ a $ e $ b $ sono interi positivi tali che $ a|b^2, b^2|a^3, a^3|b^4, b^4 | a^5 ... $, allora $ a = b $.

Ciao,
Salvatore

ohhhh meno male, quasi quasi non ci speravo più :) Soluzione impeccabile, phi :) Giusto un appunto... la seconda parte si può fare senza tirare in ballo il criterio di Eulero. Infatti sia p un primo dispari che divide n^2+1 . Allora: n^2 \equiv -1 \pmod{p} n^4 \equiv 1 \pmod{p} Perciò ord_p(n) = 4 ....

Chissà chi l'ha dimostrato, poi... eh, Eva?

Salvatore