OliForum Matematico

Forse per la coincidenza dei risultati, ma mi sono accorto dell'errorazzo XD Pensavo che si potesse fare anche in questo modo, oltre che con il metodo tradizionale...

Già u.u

Sarebbe che $ 2^{ 3k }\mid\left( \binom{2^{k+1}}{2^k}-\binom{2^{k}}{2^{k-1}}\right) $?

C'è da pensarci, è molto piu difficile di quel che sembra.

Anche io ho la stessa paura... comunque penso che $ 2^n $si possa ottenere con tutte le coppie $ (n,k) $ con $ mcd(n,k)=1 $. Sono convinto che il $ mcd $ sia un elemento fondamentale per risolvere questo problema.

Edit. La soluzione non è sicuramente quella descritta sopra. Ci sono alcuni casi in cui si possono ottenere tutte le combinazioni possibili... ci penso un po'.

Forse novizio novizio non sono, ma neanche un campione XD Posto la mia soluzione: Chiamiamo A, B, C, D, E i vertici esterni del pentagono, ed F, G, H, I, L quelli interni. Per metterci d'accordo, supponiamo che il quadrilatero sia di vertici ACHL , e abbia la base maggiore passante per F e per G . P...

Anche la mia si fonda sulla fattorizzazione di $ x $ e sull'uso delle congruenze $ (mod4) $...

Boh, la mia era diversa, si fondava sulla fattorizzazione di x. Arrivavo a dire che le uniche soluzioni erano da ricercarsi tipo tra i numeri 0,1,2,4.
Poi li facevi a mano e ne uscivi fuori.

Quando ho tempo la riscrivo, mi sembrava controtissima ma cmq una buona dimostrazione... poi non so.

Ho sviluppato una dimostrazione contortissima che stavo finendo di scrivere quando mi si è spento il pc .-. Per me le uniche soluzionei possibili (della forma (x,y) ) sono (0,1) e (1,3) . Attendo notizie: se la risposta è questa, riscrivo quella "divina commedia" di dimostrazione un'altra ...

Dici? Boh, a me non convince XD

Attendo soluzioni altrui...

Scrivo la mia soluzione. Sporcandosi un po' le mani, innanzitutto scriviamo che: S_0=1 (0) S_1=1 (0,1) S_2=1 (0,1,2) S_3=2 (0,1,2,3; 0,3) S_4=3 (0,1,4; 0,1,2,3,4; 0,3,4) Un po' con l'intuito, si può notare che, preso un generico n , S_n si ottiene analizzando tutte le successioni S_k precendenti a S...

EDIT: sono pochissimo convinto della mia soluzione XD

Penso che la risposta sia 2^{ n-k+1 } . Immaginiamo di avere n lampadine in cerchio, tutte spente. Per la prima lampadina L_1 , posso decidere se far sì che sia accesa o spenta: ciò che succede alle lampadine seguenti, per ora non mi interessa. Poi passo alla seconda L_2 , e decido se accenderla o s...

Ok, risolto Boh, per me era bellino