OliForum Matematico

In effetti ho cercato online la dimostrazione ma tutti i siti che visitavo tralasciavano la dimostrazione perché al di là delle competenze che volevano trattare...

Mi è venuta un'idea che non passa per l'induzione, vediamo un po' se funziona... La tesi è $ax^2+b x \equiv -c\pmod 2^n$ Cioè fissati a e b posso scegliere x in modo da ottenere tutte le classi di resto modulo $2^n$. Ci sono fondamentalmente $2^n$ modi diversi di prendere x: se prendo due x diversi ...

Mi aggiungo anch'io a rompere le scatole...
Per l' esercizio N6 si sfrutta il fatto che se 2 è un quadrato modulo p, allora $p\equiv \pm1\pmod8 $
Posso darlo per vero,o devo dimostrarlo?

Una domanda: nel punto a) del N8 basta esporre il controesempio senza i metodi usati per arrivarci, giusto?

EvaristeG ha scritto:allegando un unico file pdf preparato da un sorgente LaTeX costruito a partire dal template allegato a questo post.

Non trovo l'allegato.... Si può prendere quello dell'anno scorso e cambiare 2012 con 2013?

Sia data una matrice $m\times n$ di reali nonnegativi. Si sa che, se una riga e una colonna si intersecano in un elemento positivo, allora la somma degli elementi della riga è uguale alla somma degli elementi della colonna. Inoltre non ci sono righe e colonne con solo elementi nulli. Dimostrare che ...

Mmh... ma sbaglio o se ho 98 zeri, un reale positivo e il suo opposto ho solo 98 somme positive?

Supponiamo per assurdo che io abbia alla fine una configurazione del tipo $\begin{equation} \begin{array}{cccccccccc} \dots & 1 & 1 & 0 & 1 & \dots & 1 & 0 & 1 & \dots \end{array} \end{equation}$ ossia con due caselle vuote non terminali. Ragioniamo al contrario: ...

Ok provo io (metto il testo nascosto così se qualche altro novizio come me vuole provare non si rovina la sorpresa) $n$ si può scrivere come $ka+hb$ se e solo se esiste k tale che $kb \equiv n \pmod a$ ,in modo che la differenza sia un multiplo di $a$, e $kb < n$ (altrimenti dovrei togliere un multi...

Mmh... ma esiste una formula bella e pulita per ricavare il numero di numeri non ottenibili dalla forma $ha+kb$?

EDIT stavo scherzando, l'ho trovata, adesso devo pensare perchè è vera

Una cosa carina è che non possiamo avere mai 2 caselle vuote adiacenti e poi una casella successiva occupata (cioè se ho due caselle vuote consecutive, allora tutte le successive sono vuote). Altrimenti vorrebbe dire che non si sono mai riempite (se io ho due caselle di cui una vuota, allora per svu...

È anche abbastanza semplice dimostrare che il gioco ha termine: basta notare che la somma dei quadrati dei valori delle palline aumenta di 2 a ogni mossa, e per le limitazioni dette da Simone non può assumere valori infiniti (al massimo $2013^2$), tuttavia non ho la più pallida idea di come mostrare...

Provo con un altra strada. Supponiamo per assurdo che $x\ne y$, allora $\exists p$ t.c. $v_p(x) \ne v_p (y)$. Sia ora $a=v_p(x), b=v_p(y), a<b$ WLOG Ottengo che $v_p(x+y)+v_p(x^2+y^2)=2v_p(x)+2v_p(y)$ Essendo $a<b$, la somma di due termini con valutazione diversa ha valutazione pari alla minore dell...

Ok, c'è solo un'ultima cosa che non mi quadra: preso il rettangolo posso anche lasciare delle colonne vuote alla fine (non devo cioè per forza usarle tutte) giusto?

In tal caso direi che si può $\forall k \in \mathbb N \setminus \{0,2,5\}$.
Non lo dimostro ora perché sto scrivendo da cellulare, ma è abbastanza semplice...