OliForum Matematico

Sia $n=A^2B$ un intero positivo divisibile solo da primi congrui a $1$ modulo $4$, con $B$ libero da quadrati. Dimostrare che $n$ può essere espresso come somma di due quadrati (anche nulli) in almeno $\tau(A)$ modi distinti, dove $\tau(n)$ indica il numero di divisori di $n$. N.B. Due coppie di qua...

fph ha scritto:Uhm, non credo proprio che sia una shortlist 2014 -- quelle devono restare segrete fino al 2015. Forse intendevi 2013?

Già, giustamente Editato

Trovare tutte le funzioni $f: \mathbb N \rightarrow \mathbb N$ tali che
\[f(f(f(n)))=f(n+1)+1\qquad \forall n \in\mathbb N\]

A occhio potrei dire $\displaystyle f(g)=e^{ni\frac{2\pi}{p-1}}$ per un $g$ generatore a caso e un qualche $0\le n< p-1$ intero, per poi ottenere le altre di conseguenza (sfruttando $f(g^k)=f(g)^k$) .... questo deriva dal fatto che $f(g)^{p-1}=1$ non ha più come soluzioni $\pm1$, ma tutte le $p-1$-e...

Già in effetti con l'inverso era parecchio più semplice
Problema molto bello anyway

Da $m=1$ otteniamo $f(n)=f(n)f(1)$ da cui o $f(n)$ è identicamente nulla (che è soluzione) oppure $f(1)=1$. Da $m=0$ otteniamo $f(0)f(n)=f(0)$, da cui o $f(0)=0$ oppure $f(n)=1 \forall n \in \mathbb Z$ (e anche questa è soluzione). Ora abbiamo che $f(n^a)=f(n)^a \;\forall a \in \mathbb Z^+$, lo dimo...

Bravo, hai ben perso.

Il risultato migliore per ciascuno dei due è che perda solo l'altro, mentre quello peggiore è che perda solo lui; quindi se si parte da 38 Alberto raddoppierebbe e Barbara perderebbe

Own. Alberto e Barbara giocano al GIOCO. Sulla lavagna è scritto un numero $n$, e a turno possono sostituire il numero scritto con il doppio o il triplo dello stesso. Quando uno dei due riceve dall'altro un numero che termina per 76, allora ha perso. Inoltre se entrambi fanno 76 mosse e nessuno ha ...

Già beh in effetti.....

Ma anche y deve essere positivo, o solo x?

Metodo alquanto brutto: dopo aver notato che la disuguaglianza è simmetrica in $a,b,c,d$ facendo i conti otteniamo  $\displaystyle 2\sum_{cyc} a^3bcd +2\sum_{cyc} a^2b^2c^2 \ge \sum_{cyc} a^2b^2c^2 + \frac 12 \sum_{sym} a^2b^2cd$ Trasformando tutto in somme simmetriche otteniamo $\displaystyle \frac...

Supponiamo $p,q,r$ dispari. Allora tra essi ce ne possono essere congrui a 1 e a -1 $\pmod 4$. Supponiamo ce ne siano $n$ congrui a $-1$. Abbiamo $LHS \equiv (-1)^n -(-n) -(3-n) \equiv (-1)^n -2n +1 \pmod 4$. Sia che $n$ sia pari sia che $n$ sia dispari questa quantità è congrua a 2 $\pmod 4$, assur...

Altra domanda idiota: entro quando bisogna segnalare la proposta di viaggio scelta alla segreteria?

Il problema probabilmente sta nel fatto che non tutte le 4560 terne così trovate soddisfano l'ultimo punto, cioè che i modi in cui possano dividersi i biscotti sia multiplo di 3: ad esempio per $(94,0, 0)$ esiste solo un modo in cui i tre possono dividersi i biscotti, ossia tutti i biscotti a Radice...