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da scambret
ieri, 20:03
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

Sposto il calendario di algebra al lunedi e ogni due settimane. Hint sui problemi 3 Lezione importante dalle disuguaglianze: le condizioni tali per cui si raggiunge uguaglianza tra LHS e RHS ci dicono che disuguaglianze utilizzare. 3.1. L'uguaglianza si ha solo con $(x, y, z)=(2/3, 1/3, 0)$, e cicli...
da scambret
16 ott 2017, 16:05
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Allenamenti EGMO ed EGMO Camp 2018
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Re: Allenamenti EGMO ed EGMO Camp 2018

Una soluzione alternativa per il problema 2 di algebra La funzione $f(a_1,...a_n)=a_1+\cdots +a_n-a_1 \cdots a_n$ è convessa in ognuna delle sue variabili, dunque il max si ottiene (almeno) agli estremi. Ora bisogna controllare gli estremi. Quando avete $\lambda \leq a_i \leq \mu$ questo modo potreb...
da scambret
11 ott 2017, 12:17
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

Hint sui problemi 2 2.1. Scriviamo $p$ con le sue radici, vediamo che il coefficiente di testa è positivo, facciamo che le radici reali devono avere molteplicità doppia e per quelle complesse, beh... 2.2. Facciamo vedere che se $P(x)=Q(x)^2+R(x)$, allora possiamo sistemare i coefficienti di $Q(x)$ c...
da scambret
08 ott 2017, 21:43
Forum: Algebra
Argomento: Quando non si riesce a dormire...
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Re: Quando non si riesce a dormire...

Alternativa più sempliciotta
Testo nascosto:
Con il vincolo e chiamando $x^2=a+b$ e cicliche si ottiene

$$\frac{x+y+z}{xyz} \geq 9 \frac{1}{x^2+y^2+z^2}$$

Ovvero $$(x^2+y^2+z^2)(x+y+z) \geq 9xyz$$

Che è vera per tutti i motivi del mondo
da scambret
08 ott 2017, 15:06
Forum: Matematica non elementare
Argomento: vettori equidistanti
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vettori equidistanti

Sia $A_n \subset \mathbb{R}^n$. Per ogni $u, v \in A_n$ sappiamo che la distanza $d(u,v)$ è costante.
Qual è la cardinalità massima di $A_n$?

Questo è un risultato noto? Nel caso, come è la dimostrazione?
da scambret
05 ott 2017, 23:45
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Una nuova diofantea
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Una nuova diofantea

Trovare tutti i primi $p$ e naturali $n$ tali che

$$p^5+4p+1=n^2$$
da scambret
04 ott 2017, 08:44
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

Hint sui problemi 1 $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ 2.1. Sia $P(x)$ un polinomio a coefficienti reali tali che $P(x) \geq 0$ per ogni $x$ reale. Dimostrare che esistono dei polinomi $Q_1(x)$, ..., $Q_n(x)$ tali che per ogni $x$ vale $$P(x) = \left[ Q_1(x) \right]^2+ \cdots + \left[ Q_n(x) \r...
da scambret
01 ott 2017, 23:57
Forum: Algebra
Argomento: Disuguaglianza
Risposte: 2
Visite : 243

Re: Disuguaglianza

Potrei sbagliare, ma se suppongo che $k=a > 0$ e pongo $(a/3, a/3, a/3)$ ottengo $6a^3/27 \geq a \cdot 3a^2/9$. Sicuro non ci sia una condizione del tipo $x+y+z=1$ o simili?
da scambret
28 set 2017, 15:55
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
Risposte: 9
Visite : 928

Re: Algebra learning

Sicuramente un hint lo darò, ma soluzioni complete diventa difficile.
da scambret
27 set 2017, 12:18
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

1.1. $a,b,c>0$. Dimostrare che $$abc(a+b+c) \leq 3/16 \cdot \left(\prod_{cyc} (a+b)\right)^{4/3}$$ 1.2. $a,b,c>0, abc=1$. Dimostrare che $$\prod_{cyc} (a+b) \geq 4(a+b+c-1)$$ 1.3. $a,b,c>0$. Dimostrare che $$\sqrt{\left(\sum_{cyc} a^2b\right) \cdot \left(\sum_{cyc} ab^2 \right)} \geq abc+\sqrt[3]{\p...
da scambret
27 set 2017, 12:03
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
Risposte: 9
Visite : 928

Algebra learning

Ciao a tutti, Dopo le IMO 2015 avevamo pensato a qualcosa stile staffetta che potesse servire come da stimolo per fare una marea di esercizi e, ogni tanto, imparare tecniche nuove. Con immenso ritardo, propongo quindi un appuntamento settimanale dedicata a una sola "tecnica" o "idea". Fatemi sapere ...
da scambret
19 ago 2017, 18:01
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Senior 2017
Risposte: 174
Visite : 24288

Re: Senior 2017

Mmmh :roll: forse preIMO pomeriggio mai :oops: :lol:
da scambret
22 lug 2017, 20:58
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: IMO 2017
Risposte: 10
Visite : 2075

Re: IMO 2017

Complimenti a tutti!
da scambret
15 giu 2017, 13:15
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Senior 2017
Risposte: 174
Visite : 24288

Re: Senior 2017

Già che ci sono segnalo un errore (che però scompare perché è in una cosa che possiamo eliminare, ma per completezza lo dico) nella soluzione della disuguaglianza: la formula dell'area è $\displaystyle A=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd \cos^2{\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)}}$, non $\displayst...
da scambret
09 giu 2017, 00:06
Forum: Combinatoria
Argomento: $I$ e $J$
Risposte: 2
Visite : 381

Re: $I$ e $J$

Ma è bellissimo!
Testo nascosto:
Finite combinazioni, ma $\sum_{i=1}^n x_i^2$ cresce troppo.