La ricerca ha trovato 619 risultati

da scambret
10 giu 2018, 15:43
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

Ultima sessione di questo mini progetto. Un in bocca al lupo agli IMOisti di quest'annata e per gli altri, arrivederci! Hint sui problemi 18 18.1. (IMO 2012/2) Una AM-GM pesata per far uscire solo un $a_k$ e gli altri $k-1$ termini devono essere uguali e con somma 1. Altrimenti si faceva anche con u...
da scambret
24 mag 2018, 07:36
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

Sei molto vicino per chiudere la soluzione!
da scambret
20 mag 2018, 12:17
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

Sono contento che tutti i problemi sono andati via! Penultima sessione dei problemi! Hint sui problemi 17 17.1. (IMOSL 2007 A3) L’idea è maggiorizzare la frazione con una potenza di $x$. Con $\displaystyle \frac{1+x^{2k}}{1+x^{4k}} < \frac{1}{x^{k}}$ 17.2. (IMO 2009/5) Dimostrare che $f(1)=1$ altrim...
da scambret
06 mag 2018, 12:02
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

Sono finiti i bagordi di Cesenatico? A questo punto, in preparazione per il PreIMO, direi di cominciare allenamenti delle IMOSL. Hint sui problemi 16 16.1. Con $P(1)=a$, riscriviamo $P(x)=(x-1)^nQ(x)+a$ e $Q(x)$ coprimo con $x-1$. Ma questo è assurdo, dunque $P(x) = a$. 16.2. $P$ è pari e dunque esi...
da scambret
01 mag 2018, 19:48
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Cesenatico 2018
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Re: Cesenatico 2018

Vero, abbiamo appena finito di correggere e per Sirio abbiamo dato 666666, complimenti! (Ma sa di gufata?)
da scambret
22 apr 2018, 12:06
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

Spero che questi problemi vi siano piaciuti. In particolare, spero che ricorderete questo lemma che secondo me è estremamente importante (in spoiler). Hint sui problemi 15 Il lemma alla base di questi problemi è che se $a \geq b \geq 0$ e $k$ è un intero positivo, allora vale $$\sqrt[k]{a^k+b^k} \le...
da scambret
16 apr 2018, 21:47
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: EGMO 2018
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Re: EGMO 2018

Ragazzi, rendiamo ufficiali i risultati! Complimenti a tutte!
da scambret
11 apr 2018, 00:11
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Gara Febbraio
Risposte: 9
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Re: Gara Febbraio

Non è chiaro come un allenamento di matematica faccia diventare la gente onesta, ma vabbè non voglio sindacare. Per gli elaborati, posso affermare con (circa) certezza che trovare volontari per gli stage addetti alla correzione non è banale e anche correggere gli elaborati di Cesenatico non è mica u...
da scambret
08 apr 2018, 12:04
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

In concomitanza con le EGMO vi propongo dei problemi secondo me alquanto istruttivi. Hint sui problemi 14 14.1. Induzione ci mostra $f(x+n)=f(x)+n$. Fissato $x$, scegliamo $n$ tale che $nx^2$ e $n^2x$ sono entrambi interi. Ora scriviamo $f[(x+n)^3]$ o con i conti o con il risultato trovato prima. 14...
da scambret
05 apr 2018, 23:59
Forum: Algebra
Argomento: Somme di potenze
Risposte: 4
Visite : 650

Re: Somme di potenze

Cosa intendi per conti?

Se provi a scrivere

$$\sum_{i=0}^t (i+1)^n-i^n$$

Da una parte hai $(t+1)^n$, dall'altra hai una somma di un polinomio di grado minore di $n$, quindi hai un modo "ricorsivo" di scrivere la somma di potenze.
da scambret
18 mar 2018, 12:15
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

Fortunatamente i problemi sono piaciuti ;) Hint sui problemi 13 13.1. Se $a_i=0$, diminuiamo il numero di $a_i$ a $n-1$ e il LHS aumenta. Perciò possiamo assumere che $a_i \neq 0$. Ora notiamo che $a_1$ è moltiplicato per $a_2$, mentre $a_3$ è moltiplicato con $a_2+a_4$, dunque conviene mandare $a_1...
da scambret
04 mar 2018, 21:01
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

Fino a $a^4+b^4+c^4+d^4 \geq 12$ ok.
Anche questo è giusto: $a^4+b^4+c^4+d^4 \geq 4abcd$

Ma supponi che $(a,b,c,d)=(3,0,0,0)$. Le due disuguaglianze sono verificate, ma non $abcd \geq 3$

In generale, se hai $X \geq Z$ e $Y \geq Z$, è difficile concludere $X \geq Y$
da scambret
04 mar 2018, 03:04
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

È stata una sessione più difficile? Hint sui problemi 12 12.1. Scriviamo $f=P/Q$ con $Q$ monico. Allora $P$ è monico, $Q(x^2)=[(Q(x)]^2$ e dunque $Q(x)=x^n$. Da qui basta comparare i coefficienti. 12.2. Scambiando $x$ e $y$ si ottiene che $Q=cP$ e $S=dR$. Ora fissato $n$ e posto $y=n/x$ bisogna dimo...
da scambret
18 feb 2018, 20:49
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

Escludeteli pure!
da scambret
18 feb 2018, 13:18
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

Hint sui problemi 11 Quando avete prodotti dappertutto, potrebbe essere utile usare il seguente lemma RR: $a$ e $b$ vettori ordinati in maniera simile, allora $$(a_1 + b_1) \cdots (a_n+b_n) \leq (a_1 + b_{\sigma(1)}) \cdots (a_n + b_{\sigma(n)})$$ La dimostrazione è simile al riarrangiamento. Un cor...