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Non ho ben capito l'hint di mat2772 (in particolare se $n$ è dispari si può dire che $d_7 \vert \frac{ d_6 ^2-1}{2}$ ma non mi è chiaro come questo dovrebbe condurre a dire che $d_7 \vert \frac{d_6 -1}{2}$ o $d_7 \vert \frac{d_6 +1}{2}$ che è un'asserzione molto più forte). Condivido con voi i miei ...

La tecnica è più o meno questa (riscrivo un attimo l'equazione): $(a+b-1)[(a+b)^2 +(a+b)+1]=3ab(a+b-1)$. Distinguiamo due casi: 1) $a+b-1=0$: chiaramente se $a+b-1=0$ allora l'equazione è verificata, per cui $a=1-b$ e quindi questo caso genera tutte le soluzioni del tipo $(1-x;x)$ con $x \in \mathbb...

Good Answer! Io l'avevo risolto in maniera un po' meno elegante. Poniamo $t=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$. Da \begin{equation} (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^3=2+\sqrt{5}+3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})^2(2-\sqrt{5})}+3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})^2}+2-\sqrt{5}=\end{equation}\b...

Vi propongo la mia soluzione che è praticamente uguale a quella di Luca Milanese sebbene formalizzata in maniera un po' differente perché volevo mostrare un'altra idea (questa invece è molto differente) con la quale si poteva arrivare alla soluzione in un quarto d'ora circa tra pensarla e scriverla ...

Dimostrare che $\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\in \mathbb{Q}$. Premetto: ritengo che sia un esercizio piuttosto semplice, ma l'ho voluto condividere con voi perché vi volevo mostrare chi è il numero che si nasconde sotto mentite spoglie. $Enjoy!$

Innanzitutto ringrazio mat2772 per la sua soluzione in quanto sono venuto a conoscenza della stretta relazione fra identità di Legendre e somma delle cifre della rappresentazione di $n$ in base $p$ con $p$ primo. Detto ciò, vi propongo un'altra soluzione: Innanzitutto scriviamo l'identità di Legendr...

Vi propongo una soluzione che non fa uso di generatrici: denotata con $\lbrace a_n \rbrace_{n\in \mathbb{N}}$ la successione che conta il numero di modi di scrivere $n$ come combinazione lineare a coefficienti in $\lbrace 0;1;2;3\rbrace$ di potenze di $2$ distinte, risulta che la successione in que...

1)Dalla considerazione che servono almeno $\vert p \vert$ mosse per cambiare colonna $\vert p \vert$ volte e $\vert q\vert$ mosse per cambiare colonna almeno $\vert q \vert$ volte e ogni mossa cambia o riga o colonna (ma non entrambe), allora un lower bound per il numero minimo di mosse necessarie ...

Consideriamo il caso in cui $a=b=c$. La disuguaglianza diventa perciò $6a^9 \geq 3a^9 +3a^8$ che non è vera per $a<1$. Di conseguenza supporrò che l'autore del messaggio intendesse : dimostrare che per $a,b$ e $c$ positivi si ha che $a^3 b^6 +b^3 c^6 +c^3 a^6 +3a^3 b^3 c^3 \geq abc(a^3 b^3 + b^3 c^...

Vi propongo questa soluzione del secondo punto. Affinché Alessia percorra esattamente $n$ passi si deve avere banalmente che $a+b=n$ con $(a;b)$ coordinate del punto di arrivo. A questo punto distinguiamo due casi: 1) $b\leq a$: dalla risoluzione del primo punto del problema si ottiene gratuitamente...

Ci tengo a proporre una mia soluzione in analisi perché è la prima volta che mi capita di usarla in un problema di tipo "olimpico". Tuttavia spero vivamente che ce ne sia una più corta e meno analitica. Supponiamo che il polinomio $P\in \mathbb{Z}[x]$ verifichi la condizione richiesta. Supponiamo ch...

Vi propongo un'altra maniera di vedere il problema. In pratica ci viene chiesto: sia $p$ un polinomio a coefficienti interi. Sapendo che $\begin{cases} p\equiv 4 (\mod x+2)\\ p\equiv 8 (\mod x-2)\\ p\equiv 13 (\mod x+3)\\ \end{cases}$ e detto $r$ il resto di $p$ per $(x+2)(x-2)(x+3)$, determinare qu...

Propongo la mia soluzione nella speranza che sia corretta (mi scuso in anticipo per il fatto che è lunga: probabilmente si può accorciare). Vogliamo dimostrare che le uniche soluzioni sono $(2;2)$ e $(4;2)$. Come prima cosa verifichiamo che queste due sono soluzioni. Difatti $2^2 +(2-1-1)!=2^2 +1$ e...

A me viene un risultato differente. In pratica ci viene questo in quanti modi $6^{20}$ può essere scritto come prodotto di tre fattori a meno dell'ordine in cui vengono scelti. La tecnica (abbastanza standard) che propongo di conseguenza è la seguente: 1) troviamo quante sono le terne $(a,b,c)$ di n...

Vi propongo una soluzione di stampo euclideo (anche se ad un certo punto compare un po' di trigonometria). Si congiungano $E$ con $P$ e $D$ con $Q$ e denotiamo con $X$ il punto di intersezione fra $EP$ e $DQ$. Siano $S_1,S_2,S_3$ e $S_4$ rispettivamente le aree dei triangoli $PXQ,QXE,EXD$ e $DPX$. C...