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La strada in questione potrebbe essere "le funzioni generatrici". In particolare se prendi la funzione generatrice (se vuoi un "polinomio infinito" con molte ma non troppe virgolette) \begin{equation*} p(x)=1+x+x^2+x^3+\dots \end{equation*} ti potrai rendere conto che $p(x)^3=T_1 +T_2 x+T_3 x^2 +T_4...

Mostriamo per induzione sui naturali maggiori di $2$ che $a_{n}=\overline{ 2+\lfloor \log_2(n/3)\rfloor ; 2\cdot(n-3\cdot 2^{\lfloor \log_2(n/3)\rfloor })}_{n}$. Passo base: $a_{3}=6=20_3=\overline{ 2+\lfloor \log_2(3/3)\rfloor ; 2\cdot(3-3\cdot 2^{\lfloor \log_2(3/3)\rfloor })}_{3}$. Passo indutti...

Alberto fa un gioco: prende un numero naturale $n$ scritto in base 10 e somma le sue cifre. Poi somma le cifre del nuovo numero e ripete l'operazione all'infinito. Ad esempio se $n=9999$ Alberto avrà, in quest'ordine: $9999$ $9+9+9+9=36$ $3+6=9$ $9$ $9$ $9$ ... Ad un certo punto rimane sbigottito, p...

Esatto! Non mi è chiaro solo quando dici che uscirebbe $a/b=1/2$ ma l'idea è quella che hai detto.

Ho visto la soluzione. Molto bravo! Tra l'altro ad aver trovato questa stessa soluzione (o una simile) c'è il prof. Pete L. Clark, come lui stesso racconta in "A contemporary introduction to modern Number Theory", una dispensa che potete trovare sul suo sito. Comunque c'è una soluzione che non richi...

Mostrare che per ogni $n\geq 2$ naturale si ha che l'espressione
\begin{equation}
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}
\end{equation}
non è un numero intero.

Dimostrare che per ogni $n\in \mathbb{N}^*$ valgono le seguenti disuguaglianze: \begin{equation} \Bigg(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Bigg)^{n+1}<\frac{n+1}{n+2}<\Bigg(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Bigg)^{n} \end{equation} Perché potenti? Perché di fatto dimostrano la monotonia delle successioni $(a_n)_{n\geq 1}$ e $(b_...

Determinare l'insieme di tutti i numeri interi che si possono esprimere come $a^3+b^3+c^3 - 3abc$ per qualche $a, b, c\in \mathbb{N} $. (William Lowell Putnam Mathematical Competition, 2019).

Il minimo $k$ è $7$. Prima di cominciare la dimostrazione, enuncio dei lemmi banalissimi: Lemma $1$: se in una tabella $3\times m$ non verifica la proprietà per cui esiste un rettangolo con tutti i vertici dello stesso colore, allora cambiando di colore esattamente una casella di ogni eventuale col...

Mi è stato fatto giustamente notare che per la parte in cui determino $f(n) $ c'è un metodo estremamente più veloce. :cry: se $(n, k) \neq 1$ allora anche $(n, n-k) \neq 1$ e viceversa. Scrivendo in riga i numeri da 0 a $n$ che non sono coprimi con $n$ in ordine crescente e riscrivendoli in ordine c...

Posto una soluzione parziale in attesa di risolverlo tutto (è un po' tecnica ma pace all'anima). Come prima cosa determiniamo un'espressione conveniente per la funzione $f(n)$. Noi sappiamo per definizione che \begin{equation} f(n)=\sum_{i\leq n ; (i,n)\neq 1} i \end{equation} con $f(1)=0$ per conve...

Ok grazie mille!