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Essendo necessaria l'ipotesi che il centro del poligono coincida con l'origine, e poichè in un poligono regolare circocentro, baricentro, incentro ecc... coincidono, ho pensato di poter dare per scontato questo fatto. Altrimenti, bisognerebbe specificare in quale centro del poligono sappiamo essere ...

Propongo una soluzione "fisica". Mettiamo una massa m uguale in ogni vertice. Poichè il poligono è regolare, il baricentro di questo sistema si trova al centro del poligono, cioè nell'origine. Segue che il sistema di riferimento scelto coincide con quello del centro di massa. Ma allora si ha per def...

Per assurdo, esistano y_1, y_2 \in \mathbb R_+^2 , con y_1 \neq y_2 , tali che y_1^n=y_2^n=x . Allora y_1^n-y_2^n=x-x=0 , perciò, scomponendo: \displaystyle 0=y_1^n-y_2^n=(y_1-y_2)(y_1^{n-1}+y_1^{n-1}y_2+ \cdots + y_1y_2^{n-1}+ y_2^{n-1}) . Poichè il secondo fattore è una somma di numeri positivi, n...

Per prima cosa faccio a mano i casi n=2 ed n=3 , ottenendo rispettivamente \frac{3}{2} \notin \mathbb N e \frac{11}{6} \notin \mathbb N . Sia per il seguito n \geq 4 . Riscriviamo la somma come \displaystyle S=\frac{\frac{n!}{1}+\frac{n!}{2}+\cdots+\frac{n!}{n}}{n!} Sia p il più grande primo \leq n...

Direi che ora va bene.

Maionsss ha scritto: ↑

15 apr 2020, 14:26

mi basta prendere $b=3 \times (2^{2^{k}} +1)$ per avere $2^{2^{k}} +1| b^{2}+9$.

Questo passaggio non mi torna, puoi spiegare meglio?

Giusto! Vai con la dimostrazione.

Dovrebbe essere 64.

Grazie.

Sarebbe il caso che chiarissi l'ultimo passaggio, anche perchè usa un teorema che conviene conoscere.

Sia [math]n>2 un intero positivo e [math]p un numero primo tale che [math]\displaystyle \frac{2n}{3}<p<n. Dimostare che [math]p \not | \binom{2n}{n} .

A quel problema ottenni solo due punti... vediamo se riesco a riscattarmi. :lol: Scriviamo p+q^2=a^2 e p^2+q^n=b^2 , con (a,b,n) \in \mathbb N_0^3 . Osserviamo subito che p \neq 2 : in caso contrario la prima equazione non tornerebbe modulo 4 . D'altronde, anche q \neq 2 : se così non fosse, si avr...

Dimostrare che un primo dispari [math]p può essere espresso come somma di due quadrati interi se e solo se [math]p \equiv 1 \mod 4.

Una soluzione come quella analitica di Leonhard Euler sarebbe accettata in gara?

Yep