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Notiamo che se a_{n - 1} = x^2 + 2y^2 e a_{n} = (x + 2y)^2 + 2y^2 per certi interi x, y , allora a_{n + 1} = 4[(x + 2y)^2 + 2y^2] - (x^2 + 2y^2) = (x + 2y)^2 + 2(x + 3y)^2 e a_{n + 2} = 4[(x + 2y)^2 + 2(x + 3y)^2] - [(x+2y)^2 + 2y^2] = (3x + 8y)^2 + 2(x + 3y)^2 . A questo punto, ponendo x_{1} = x + ...

Ovviamente corretto. Il modo è lo stesso cui avevo pensato io.

Dimostare che un numero intero positivo può essere espresso come differenza di quadrati perfetti se e solo se non è congruo a 2 modulo 4.

Forse hai sbagliato a scrivere il terzo addendo del primo membro...

Ok, adesso mi è più chiaro. Avevo effettivamente detto una stupidaggine...

Va bene, ci siamo chiariti almeno su questo punto. . Peraltro, io stesso continuo a non essere del tutto convinto di ciò che ho scritto inizialmente...

Ma certamente, è ovvio cosa voglia il testo: quello che può lasciare perplessi è il fatto che si debba andare a usare sommatorie sui negativi, e dunque qui ci possono essere discordanze su come applicare le formule chiuse di somme di quadrati e cubi (che poi è quello che sta succedendo). Dopodiché, ...

Sì, in effetti questo problema è abbastanza "libero da interpretare" (dannate sommatorie negative!). Però volevo far notare che se tu vai per x>=3, difficilmente arrivi a -2... poi boh, magari vale lo stesso.

Provo a spiegarmi meglio (non sono neanche sicuro di ciò che dico, è probabile che avrò scritto un'assurdità, ma nel dubbio...): io quelle sommatorie da i=3 a -2 le vedo, applicando la formula generica da i=1, come incluse per i=1, 0,-1 e -2 nella formula, e per i=2 e 3 da fare a parte e poi aggiung...

Obiezione forse stupida: dato che, in quella sommatoria, partendo da i=3 si "arriva" a -2, cioè si procede al contrario, non si dovrebbe forse cambiare i segni di 9 e 15 nell'ultimo passaggio dei tuoi conti (cioè considerarli come numeri da sommare e non da sottrarre)?

Ok, penso di aver capito il punto. In realtà, mi sono reso conto che, effettivamente, quando ho pubblicato il post originario avevo dato un po' per scontata la questione della "non realtà" di u, v e compagnia bella, però ora mi pare di aver chiarito (soprattutto nella mia testa) il concetto. Provo a...

Ma se anche per ogni u intero esiste un v complesso che soddisfa quell'equazione, poi, sostituendo nella formula b=u+v+1 del post originario, otteniamo un b complesso, mentre ci venivano richieste le soluzioni a e b intere dal problema, quindi scartiamo i casi in cui anche uno solo fra u e v sia com...

Perchè abbiamo visto che u=[-v-3+-(v+1)(-3)^(1/2)]/2, e quella radice quadrata di -3, che ovviamente non può esserci se ci interessano le soluzioni in Z, si può levare solo azzerando v+1, cioè avendo v=-1 e di conseguenza anche u=-1 e b=-1 (usando le formule di Vieta scritte sopra), e a=2. Quindi, p...

Posto una mia soluzione dell'esercizio 4 di Cesenatico 2015 della quale, essendo parecchio diversa dalle due ufficiali proposte, non sono del tutto sicuro. Se vi va, leggetela (ed eventualmente correggetemela). Determinare tutte le soluzioni intere di a^3+b^3+3ab=1 Dimostrazione: Riscriviamo l'equaz...

Phi(p^k) con p primo e k naturale = (p-1)p^(k-1).
Infatti, tra i numeri minori o uguali a p^k, sono tutti primi con p^k tranne i multipli di k, che sono (p^k)/p = p^(k-1). Quindi Phi(p^k) = p^k-p^(k-1) = (p-1)p^(k-1). È giusto?