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Anch'io ero arrivato a queste due conclusioni. Intanto grazie.

Ci sono quattro funzionali su cui avrei bisogno di qualche delucidazioni. Potrebbe essere che siano banali: perdonatemi, sulle funzionali sono alle prime armi. 1)Trovare tutte le funzioni f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tali che f(f(x)+f(y))=xy \forall x,y\in\mathbb{R} 2)Trovare tutte le funzioni f:\mathb...

Sì, hai ragione. Ci sono due configurazioni, a seconda che P sia a destra o a sinistra rispetto alla bisettrice. Comunque la dimostrazione è praticamente la stessa anche nell'altra configurazione.

Allora, Sia Q l'intersezione fra a e B_1C_1 . Dimostriamo che a è la simmetrica di AP rispetto alla bisettrice AD di \angle CAB ( D \in BC ). Sia \theta=\angle DAP . Allora \angle PAB_1=\frac{\alpha}{2}-\theta . Per la ciclicità di AB_1PC_1 e per il fatto che a è perpendicolare a B_1C_1 si ha che \a...

Davide, all'inizio della tua soluzione non dovresti scrivere [math]\angle AIE=90-\frac{\alpha}{2}=\angle FDE \rightarrow \angle YDE=\angle YIE?

Sbaglio o nel tuo ragionamento mancano le parole che iniziano con N e finiscono con N? Che sono [math]\frac{5!}{3!}=20

Esatto, ma ho fatto il conto velocemente, quindi è possibile che mi sia sbagliato...

se \alpha è radice di p(x) allora \frac{1}{\alpha^4-15\alpha^2-10\alpha+24}=\frac{\alpha^4+4\alpha^3+\alpha^2-6\alpha}{\alpha^4-15\alpha^2-10\alpha+24}=\frac{\alpha}{\alpha-4}=\frac{1}{1-4\beta} , dove \beta=\frac{1}{\alpha} . Sfrutto il seguente fatto: se \lambda \ne 0 è radice del polinomio f(x)=...

Sbaglio o il 999-esimo "9" utilizzato è quello delle decine di 3499 e dunque è assurdo?

Non so se è proprio così...

Lemma : \Gamma circonferenza, Z interno alla circonfernza, Z' immagine di Z nell'inversione rispetto a \Gamma , J intersezione (interna a ZZ' ) di ZZ' con \Gamma . Allora \Gamma è la circonferenza di Apollonio dei punti Z,Z' passante per J . Dimostrazione (boh, complessi, magari ce n'è una sintetic...

Soluzione 1 (con l'hint) La trasformazione \varphi manda la retta \tau nel ramo positivo \gamma di una parabola avente l'asse x come asse di simmetria. Manda P in un punto Q che sta sopra il ramo di parabola. Manda una generica parabola avente x=0 come asse di simmetria in una retta. Il problema eq...

Basta scegliere [math]n dispari e si ha:
[math]n+ s*e*s*t*e*s*s*0=n+0=n dispari.

Allora, Lemma : In ABC vale 0<g(\alpha,\beta,\gamma)=\sum_{cyc} \sin^2 \alpha \le \frac {9}{4} . Dimostrazione. La prima è ovvia e si nota che 0 è la miglior costante, infatti g(t,t,\pi -2t) \to 0 per t \to 0 . Per la seconda, si ha che g=\sum_{cyc} \sin^2 \alpha=\frac{\sum_{cyc}a^2}{4R^2}= \frac{\s...