OliForum Matematico

Sia $ABC$ un triangolo e $\gamma$ il suo incerchio. Siano $D_1, E_1$ i punti di tangenza di $\gamma$ con i lati $BC, CA$. Siano $D_2, E_2$ i simmetrici di $D_1, E_1$ rispetto ai punti medi di $BC, CA$ rispettivamente. Le rette $BE_2, AD_2$ si intersecano in $P$. La retta $AP$ interseca $\gamma$ in d...

Cari matematici, sono qui per annunciare che il 5 Dicembre 2020 alle ore 15:00 avrà luogo la quarta edizione della One Hundred Problems . Lasciatemi parlare un po' della gara... :) Si tratta di una gara composta da 100 problemi a risposta numerica, nello stile delle Gare a Squadre, da risolvere in m...

Lucio Tanzini ha scritto: ↑

07 ott 2020, 00:48

Sì Mattysal molto

Ottimo

Sia $ABCD$ un parallelogramma, denotiamo con $O$ il circocentro di $ABD$ e con $M$ il punto medio di $AD$. Sia $K$ l’intersezione tra la circonferenza circoscritta al triangolo $BCD$ e la circonferenza di diametro $AD$. Dimostrare che le rette $AK$, l’altezza uscente dal vertice $B$ relativa al tria...

Ciao! Come propositore di problemi mi è mancato Cesenatico irl anche perché là era più facile trovare un feedback da parte dei concorrenti (o anche dai non concorrenti) sui problemi delle gare. Sarebbe quindi bello sapere se i problemi vi sono piaciuti, vi hanno fatto schifo, erano troppo facili o ...

Kopernik ha scritto: ↑

26 set 2020, 19:07

Novità?

Sono dei mostri

Se ci mandi il testo rendi tutto più facile

Per ogni intero positivo $d$ sia $f(d)$ il più piccolo intero con $d$ divisori interi positivi.
Ad esempio $f(1)=1, f(2)=2, f(5)=16$.
Dimostrare che per ogni $k \ge 0$ si ha $f(2^k) \mid f(2^{k+1})$.

Sia $ABC$ un triangolo, supponiamo che esista un punto $P$ ad esso interno tale che $\widehat{APB}=\widehat{BPC}=\widehat{CPA}$.
Dette $D,E$ le intersezioni tra $BP, CP$ e i lati $AC, AB$ rispettivamente, dimostrare che $\frac{AB+AC}{DE} \ge 4$.

Buongiorno a tutti... volevo informare tutta la community che io insieme ad un gruppo di amici stiamo organizzando una gara di 6 problemi dimostrativi (di difficoltà leggermente < Cese). Vi presentiamo #AspettandoCese2020 Un po' di info... Quando? 12 Settembre. La gara ha una durata di 240 minuti (4...

Sia $n$ un intero positivo tale che la somma dei quadrati dei divisori interi positivi di $n$ sia uguale a $n(n+3)$.
Dimostrare che $n$ è il prodotto di due numeri di Fibonacci

Sia $ABC$ un triangolo con $AB=16, BC=24, CA=32$. Sia $P$ un punto sul lato $AB$ e $Q$ un punto sul lato $AC$ tali che $BP=CQ=8$. Le rette $BQ$ e $CP$ si intersecano in $X$, le circonferenze circoscritte ai triangoli $BPX$ e $CQX$ siano secanti in $X,Y$ con $X \neq Y$. Detta $Z$ l'intersezione tra $...

Visto che nessuno si è fatto avanti, lascio qualche hint

Hint 1 Hint 2

Alla soluzione di Mattysal manca qualcosa; ci sono tanti n-agoni regolari diversi che hanno centro nell'origine e differiscono per dilatazioni e rotazioni, e va precisato (o almeno menzionato) perché basta considerare solo quello formato dalle radici di x^n-1 . Chiaro :) quindi bastava specificare ...

Mi sa che l'ho bucato, però questa è la prima soluzione che mi viene in mente. Consideriamo il piano dei numeri complessi e una circonferenza di centro $1$ centrata nell'origine. Le radici del polinomio $P_n(x)=x^n-1$ sono rappresentate su tale piano come i vertici di un n-agono regolare inscritto i...