La ricerca ha trovato 26 risultati

da Leonhard Euler
17 giu 2019, 12:56
Forum: Algebra
Argomento: Da Cese2013 con furore
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Re: Da Cese2013 con furore

Per dare significato a quella radice deve valere per ogni n : -1\leq x_n\leq1 . Definisco quindi una nuova sequenza a_n che soddisfi x_n=\sin a_n , sostituendo nella relazione del testo: x_{n+1}=2x_n\sqrt{1-x_n^2} \implies \sin a_{n+1}=2\sin a_n\sqrt{1-\sin a_n^2}=2\sin a_n\cos a_n=\sin 2a_n Da cui...
da Leonhard Euler
14 giu 2019, 23:18
Forum: Geometria
Argomento: Poli e allineamenti
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Re: Poli e allineamenti

Posto una dimostrazione sintetica che fa uso di alcuni lemmi noti molto utili su poli e polari. Claim : Detto H’ l’inverso di H , esso giace su FG . Lemma di La Hire : Data una circonferenza e due punti P, Q , dette p e q rispettivamente le due polari, P giace su q se e solo se Q giace su p . La pol...
da Leonhard Euler
13 giu 2019, 23:08
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Primi in una successione
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Primi in una successione

Sia $ a\geq1 $ un intero fissato, si definisca la successione $ x_n=2^{2^{n} }+a $. Dimostrare che esiste almeno un intero positivo $ m $ per cui $ x_m $ non sia primo.
Bonus: Gli interi non primi appartenenti alla successione $ x_n $ sono in numero finito?
da Leonhard Euler
13 giu 2019, 12:08
Forum: Geometria
Argomento: Poli e allineamenti
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Poli e allineamenti

Sia AB diametro di una circonferenza ω , H punto esterno alla circonferenza sulla retta AB e D un punto sulla perpendicolare ad essa passante per H . Le tangenti da D a ω incontrano la circonferenza in G,F , la retta AD interseca ω in C , distinto da A , le tangenti in B e C si intersecano in E . Di...
da Leonhard Euler
30 mag 2019, 21:09
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: equazione diofantea
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Re: equazione diofantea

Operando la sostituzione 12x+1=p e guardando tutto modulo p ottieni che p potrebbe essere un numero primo, quindi verifichi che tutti i primi in quella forma vadano bene e concludi che le soluzioni sono infinite per il teorema sulle progressioni aritmetiche di Dirichlet, poi rimane da controllare i...
da Leonhard Euler
30 mag 2019, 09:59
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: equazione diofantea
Risposte: 4
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Re: equazione diofantea

Quale delle due è l’equazione che richiedi?
$ 2^{12}x-1=12xy+y $
$ 2^{12x}-1=12xy+y $
da Leonhard Euler
17 mag 2019, 16:47
Forum: Geometria
Argomento: Circonferenze coassiali
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Re: Circonferenze coassiali

Davvero un problema interessante, qui sotto una dimostrazione sintetica. Siano F=(ABE) {\displaystyle \cap } (ACD) , G punto medio dell'arco BC della circoscritta ad ABC contenente il vertice A , O circocentro di ABC . Si vuole mostrare che il punto di concorrenza delle tre circonferenze sia G , che...
da Leonhard Euler
04 mar 2019, 17:05
Forum: Matematica non elementare
Argomento: Limite
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Re: Limite

Avevo semplicemente usato $ \frac{1}{n} $ al posto di $ n $, quindi il limite era per $ n $ a $ 0 $ e non a $ +\infty $. Ho quindi modificato il post precedente utilizzando $ n $.
da Leonhard Euler
04 mar 2019, 12:41
Forum: Matematica non elementare
Argomento: Limite
Risposte: 7
Visite : 1278

Re: Limite

Ammetto di essere stato indecorosamente pigro nel calcolare \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (a^\frac{1}{n}+b^\frac{1}{n})^n , pertanto mi correggo: Sia m = \max\{a, b\} , allora \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (a^\frac{1}{n}+b^\frac{1}{n})^n≥\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (2m^\frac{1}{...
da Leonhard Euler
03 mar 2019, 17:51
Forum: Matematica non elementare
Argomento: Limite
Risposte: 7
Visite : 1278

Re: Limite

Sei sicuro che il limite sia proprio quello? Penso invece che il limite che si tratti di \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (a^n+b^n)^\frac{1}{n} . VERSIONE ERRATA: \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a^\frac{1}{n}=1 , il limite richiesto diventa: \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 2^n = +\infty
da Leonhard Euler
21 feb 2019, 21:53
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Febbraio 2019
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Visite : 2590

Re: Febbraio 2019

Ho specificato che alcune lampadine che dovrebbero essere accese sono spente durante il procedimento ma che si possono riaccendere ripetendo i passaggi che avevano portato alla loro accensione. Purtroppo mi rendo conto che in questa fase sono stato un po' vago ma spero di non essere troppo penalizz...
da Leonhard Euler
21 feb 2019, 17:08
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Febbraio 2019
Risposte: 14
Visite : 2590

Re: Febbraio 2019

Scrivo qui perchè non so se devo aprire un altro post. Nella dimostrazione del 15, a differenza di quella mostrata nelle soluzioni, ho affermato che è possibile accendere qualunque primo scegliendo 1 e il primo, qualunque numero che è prodotto di primi scegliendolo insieme a un numero che è il prod...
da Leonhard Euler
16 feb 2019, 22:17
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Sommando all'infinito
Risposte: 6
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Re: Sommando all'infinito

Giusto per curiosità, dove avete studiato queste cose; come fate a conoscere questi argomenti? Le funzioni generatrici sono qualcosa di molto utile per valutare somme, determinare il termine n-esimo in una ricorsione, capire l’andamento e scoprire proprietà “insolite” di una certa funzione. A tal p...
da Leonhard Euler
15 feb 2019, 17:52
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Sommando all'infinito
Risposte: 6
Visite : 940

Re: Sommando all'infinito

Premetto che nel corso della dimostrazione userò fatti che sono decisamente poco olimpici, quali le funzioni generatrici. In primo luogo scrivo la funzione generatrice di Lambert della successione avente come termini \phi(n) : LG(\phi(n),x)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)x^{n...
da Leonhard Euler
15 feb 2019, 16:40
Forum: Geometria
Argomento: Perpendicolare
Risposte: 3
Visite : 587

Re: Perpendicolare

Siano F=EX{\displaystyle \cap }CD e G=EY{\displaystyle \cap }AB . I triangoli GEX e FEY sono simili, infatti \angle GEX=\angle FEY in quanto angoli opposti al vertice, \angle EFY=\pi - \angle FEC-\angle ECF= \pi/2-\angle GAD=\angle AGY=\angle XEG , nell'uguaglianza si è sfruttato il perpendicolarism...