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da Leonhard Euler
04 mar 2019, 17:05
Forum: Matematica non elementare
Argomento: Limite
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Re: Limite

Avevo semplicemente usato $ \frac{1}{n} $ al posto di $ n $, quindi il limite era per $ n $ a $ 0 $ e non a $ +\infty $. Ho quindi modificato il post precedente utilizzando $ n $.
da Leonhard Euler
04 mar 2019, 12:41
Forum: Matematica non elementare
Argomento: Limite
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Re: Limite

Ammetto di essere stato indecorosamente pigro nel calcolare \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (a^\frac{1}{n}+b^\frac{1}{n})^n , pertanto mi correggo: Sia m = \max\{a, b\} , allora \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (a^\frac{1}{n}+b^\frac{1}{n})^n≥\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (2m^\frac{1}{...
da Leonhard Euler
03 mar 2019, 17:51
Forum: Matematica non elementare
Argomento: Limite
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Re: Limite

Sei sicuro che il limite sia proprio quello? Penso invece che il limite che si tratti di \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (a^n+b^n)^\frac{1}{n} . VERSIONE ERRATA: \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a^\frac{1}{n}=1 , il limite richiesto diventa: \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 2^n = +\infty
da Leonhard Euler
21 feb 2019, 21:53
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Febbraio 2019
Risposte: 14
Visite : 2345

Re: Febbraio 2019

Ho specificato che alcune lampadine che dovrebbero essere accese sono spente durante il procedimento ma che si possono riaccendere ripetendo i passaggi che avevano portato alla loro accensione. Purtroppo mi rendo conto che in questa fase sono stato un po' vago ma spero di non essere troppo penalizz...
da Leonhard Euler
21 feb 2019, 17:08
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Febbraio 2019
Risposte: 14
Visite : 2345

Re: Febbraio 2019

Scrivo qui perchè non so se devo aprire un altro post. Nella dimostrazione del 15, a differenza di quella mostrata nelle soluzioni, ho affermato che è possibile accendere qualunque primo scegliendo 1 e il primo, qualunque numero che è prodotto di primi scegliendolo insieme a un numero che è il prod...
da Leonhard Euler
16 feb 2019, 22:17
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Sommando all'infinito
Risposte: 6
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Re: Sommando all'infinito

Giusto per curiosità, dove avete studiato queste cose; come fate a conoscere questi argomenti? Le funzioni generatrici sono qualcosa di molto utile per valutare somme, determinare il termine n-esimo in una ricorsione, capire l’andamento e scoprire proprietà “insolite” di una certa funzione. A tal p...
da Leonhard Euler
15 feb 2019, 17:52
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Sommando all'infinito
Risposte: 6
Visite : 751

Re: Sommando all'infinito

Premetto che nel corso della dimostrazione userò fatti che sono decisamente poco olimpici, quali le funzioni generatrici. In primo luogo scrivo la funzione generatrice di Lambert della successione avente come termini \phi(n) : LG(\phi(n),x)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)x^{n...
da Leonhard Euler
15 feb 2019, 16:40
Forum: Geometria
Argomento: Perpendicolare
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Re: Perpendicolare

Siano F=EX{\displaystyle \cap }CD e G=EY{\displaystyle \cap }AB . I triangoli GEX e FEY sono simili, infatti \angle GEX=\angle FEY in quanto angoli opposti al vertice, \angle EFY=\pi - \angle FEC-\angle ECF= \pi/2-\angle GAD=\angle AGY=\angle XEG , nell'uguaglianza si è sfruttato il perpendicolarism...
da Leonhard Euler
30 dic 2018, 15:51
Forum: Scuole d'eccellenza e borse di studio
Argomento: 4. Polinomio di terzo grado
Risposte: 3
Visite : 801

Re: 4. Polinomio di terzo grado

Sì, chiaramente le condizioni precedenti, se non sono presenti sviste, sono solamente necessarie, ad ogni modo appena avró terminato la revisione dei problemi per il Winter completeró la dimostrazione aggiungendo le condizioni sufficienti. Nel frattempo ho corretto la svista su $ b $.
da Leonhard Euler
30 dic 2018, 14:18
Forum: Scuole d'eccellenza e borse di studio
Argomento: 4. Polinomio di terzo grado
Risposte: 3
Visite : 801

Re: 4. Polinomio di terzo grado

Per adesso mi limito a riportare dei bound sui tre parametri del problema, a seguito completerò la dimostrazione. Il primo fatto importante da sfruttare è che le radici sono positive, ovvero 0<\angle A,\angle B,\angle C<\pi/2 . Inoltre per le relazioni radici-coefficienti a,c<0 , b>0 Usando la disug...
da Leonhard Euler
26 dic 2018, 16:28
Forum: Scuole d'eccellenza e borse di studio
Argomento: 2. Limite geometrico
Risposte: 2
Visite : 379

Re: 2. Limite geometrico

Buona dimostrazione, è tuo adesso l'onore di porre un problema di livello più avanzato. Per completezza posto la mia soluzione: Sia ω una circonferenza di raggio unitario e centro O , si fissino due punti sulla circonferenza A e B e sia x l'angolo convesso formato dalle rette OA e OB . L'arco su cui...
da Leonhard Euler
26 dic 2018, 09:45
Forum: Scuole d'eccellenza e borse di studio
Argomento: 2. Limite geometrico
Risposte: 2
Visite : 379

2. Limite geometrico

Trovare una dimostrazione geometrica, dunque non analitica o che faccia uso di limiti già ben noti, del seguente limite:

$$\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{1-\cos x}}x$$
da Leonhard Euler
25 dic 2018, 22:56
Forum: Scuole d'eccellenza e borse di studio
Argomento: 1. Un luogo geometrico particolare
Risposte: 9
Visite : 825

Re: 1. Un luogo geometrico particolare

Quindi il centro sarebbe la media aritmetica dei punti che scegli. Magari trovando un'interpretazione geometrica alla parte destra si riesce anche a capire come funzionano i casi degeneri In verità sei molto vicino alla soluzione, è sufficiente considerare che il punto in cui degenera la circonfere...
da Leonhard Euler
25 dic 2018, 19:48
Forum: Scuole d'eccellenza e borse di studio
Argomento: 1. Un luogo geometrico particolare
Risposte: 9
Visite : 825

Re: 1. Un luogo geometrico particolare

Sia P=(x,y) il punto che al variare di x,y descrive il luogo geometrico e P_i=(x_i,y_i) l' i -esimo punto del piano fissato. Si può riscrivere la caratteristica del luogo come: \sum(PP_i)^2=\sum(x-x_1)^2+\sum(y-y_i)^2= nx^2+ny^2-2x\sum(x_i)-2y\sum(y_i)+\sum(x_i)^2+\sum(y_i)^2= k Dividendo per n ques...
da Leonhard Euler
08 dic 2018, 10:18
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Somma di numeri coprimi
Risposte: 3
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Somma di numeri coprimi

Per quali numeri interi [math] la somma dei numeri coprimi ad esso risulta suo multiplo?
Fra i numeri coprimi ad un numero è da considerarsi anche [math].