OliForum Matematico

Abbiamo sul tavolo $997$ circonferenze unitarie numerate da $4$ a $1000$. La $i-esima$ circonferenza corrisponde alla circoscritta di un poligono regolare di $i$ lati. Denotiamo con $M(i)$ il prodotto delle distanze dai vertici ad un punto $P$ corrispondente al punto medio dell arco di circonferenza...

Ringrazio il caro "1729" per avermi consigliato questo problema davvero simpatico. Siano $(a_i)$ e $(b_i)$ due sequenze di interi positivi rispettivamente lunghe $n$ ed $m$ tali che per ogni $k$, il numero di $a_i$ divisibili per $k$ sia minore o uguale al numero di $b_i$ divisibili per $k$. Dimostr...

Suppongo che si tratti di numeri inferiori ad $n$ altrimenti la somma va a $+\infty$. Se $a$ e' coprimo con $n$, allora anche $(n-a)$ lo sarà. Supponiamo infatti che $n, n-a$ abbiamo un fattore $d$ in comune $\Rightarrow d|n-(n-a)=a$ e dunque si avrebbe $(a, n)\neq 1$. Dunque, se i numeri coprimi co...

Spero di non aver preso qualche svista mega galattica. Affrontiamo il caso $x=y$. L'equazione diventa $$2\cdot x^n=z^n$$ che non ha soluzioni per $n\geq2$: basta infatti comparare le valutazioni $2-adiche$ di LHS ed RHS. Sia ora senza perdità di generalità $x<y<z \Rightarrow x^z+y^z\leq (y-1) ^n+y^n...

Personalmente ho trovato la gara Triennio molto più semplice rispetto a "Triennio 2017" o "Triennio 2016" (premettendo che queste ultime non le ho svolte in gara, in quanto sono appena entrato in terza). I quesiti erano fattibili anche per "novizi", tranne al più un paio. Il testo era simpatico e tr...

$x^3=i$.

Causa svista inerente la sezione, riposto sperando non sia un disturbo. Il popolo degli uneF, per motivi apparentemente sconosciuti, ragiona spesso in base $3$. Durante una giornata di pioggia, il vecchio del villaggio (il cui nome rimarrà sconosciuto per almeno un'altra settimane), si rese conto ch...

Problema simpatico, spero di non aver commesso errori avendolo risolto di fretta. $a)$ $\fbox{Tutti gli n diversi da 2}$. Posto $a=(n-1)^{n-1}$ e $b=(n-1)^{n}$ (che, per $n>2$ sono entrambi $>1$), si ha banalmente $$((n-1)^{n-1})^{(n-1)^{n-1}\cdot n}=((n-1)^{n})^{(n-1)^{n}}$$ che dimostra che $a, b$...

Scusa se rispondo solo oggi. Hai perfettamente ragione! Ho deciso però di metterlo in questa sezione dopo aver trovato che formulazioni simili di questo problema sono state postate su Arts of Problem Solving con tag inerenti alla teoria dei numeri, oltre che essere presente nella sezione $Arithmetic...

Il realtà dato che i nostri coefficienti non sono quelli di grado divisibile per $3$, ma quelli congrui ad $1$ mod $3$, il polinomio che consideriamo non è il $p(x)$ del testo, ma bensì $x^2p(x)$ che ha i coefficienti "shiftati bene".

Corretto .

Il popolo degli uneF, per motivi apparentemente sconosciuti, ragiona spesso in base $3$. Durante una giornata di pioggia, il vecchio del villaggio (il cui nome rimarrà sconosciuto per almeno altre 3 settimane), si rese conto che: Detto $K$ il sottoinsieme di $[0, 1]$ contenente tutti i reali aventi ...

L'ho fatto velocemente a cena, dovrebbe essere corretto, aspetto risposte. Supponiamo $n\geq7$. Segue che, detto $f(n)=(n^2+11n-4)*n!+33*13^n+4$, allora valgono \begin{cases} f(n)\equiv 5*(-1)^n +4\equiv k^2 \pmod{7} \\ f(n)\equiv 5^n+4 \equiv k^2 \pmod{8}. \end{cases} La prima equazione ci porta a ...

Lascio un abbozzo di dimostrazione con Vieta's-Jumping. Riscriviamo l'espressione del testo come $\frac{m^2+m+n^2+n}{mn}=k$. Dimostriamo ora che, data una qualsiasi soluzione $(m, n, 3)$ è possibile ricavare una soluzione $(m', n', 3)$ tale che $min(m, n)<min(m', n')$. Cominciamo esibendo una soluzi...

Giusto .