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Propongo una soluzione un po' meno carina, lascio la possibilita' a Tilli di ragionare un pochino sulle differenze finite. Lavoriamo con un sistemone. Sappiamo che $p(x)=b(x)\cdot q(x) + r(x)$(*), dove r(x) e' chiaramente di quinto grado, della forma $ax^5 + bx^4 + cx^3 +dx^2 + ex + f$ con eventuali...

Ma sbaglio o Nella tua induzione utilizzi il fatto che $A_1$ e $A_2$ non abbiano usato il passaporto, cosa che fanno durante ogni passaggio Provo io: Proviamo a dimostrare che funziona per tutti gli $n$ dispari. Innanzitutto notiamo che denominato $A$ il numero di viaggi dall'Africa all'Italia, poss...

Scusa se tiro su. Provando a mano i primi numeri primi, risulta facile trovare una costruzione per $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37$.. \begin{eqnarray*} 2 = -2^0 + 3^1 \\ 3 = 2^2 - 3^0 \\ 5 = 2^3 - 3^1 \\ 7 = 2^4 - 3^2 \\ 11 = 3^3 - 2^4 \\ 13 = 2^4 - 3^1 \\ 17 = - 2^6 + 3^4 \\ 19 = - 2^3 ...

Dalla legge del Coseno otteniamo che, detto $c$ il lato maggiore e $a, b$ gli altri due: $$a^2 + b^2 + ab = c^2$$ Da qui possiamo continuare in 2 modi: 1)forza bruta. $c<20$ e' fattibile. 2) risolvendo quella diofantea. Scelgo il secondo. Scelti $m, n$ interi, possiamo generare infinite terne in que...

Considerato l'insieme da 1 a 2018, calcolare il prodotto di ogni sottoinsieme con due o più elementi dei numeri assegnati, e sommare tutti i prodotti ottenuti. Quali quattro cifre meno significative del risultato? Provo. Sia $p(x)=(x-1)(x-2)...(x-2018)$. Per Viete's otteniamo che la somma dei prodo...

$\phi(\frac{n}{k})$ conta (quasi) chiaramente tutti gli interi $m<=n$ tali che $(m,n)=k$. Consideriamo ora l' insieme $S={1,2,3,...,n}$. Contiamo la sua cardinalità in 2 modi. Primo modo: Tutti i numeri $k$ che hanno $(k, n)=1$.. Poi tutti quelli tali che $(k,n)=2$..fino ad arrivare a $(k,n)=n$..dat...

Tralasciamo la dimostrazione dell' irrazionalità di $ \sqrt [3]a$ e $\sqrt [3]b$ per $a, b$ non cubi in quanto banale. Supponiamo ora esistano $m$ ed $n$ interi positivi tali che $$\sqrt [3]a+\sqrt [3]b= \frac{m}{n}(*)$$ Innanzitututto $\frac{m}{n} >0$ in quanto $a, b$ positivi. Elevando al cubo in ...

Tabella non ufficiale Biennio T1:
CEDB EADB EDDA ABDA
Mi scuso per eventuali errori.
Gara tranquilla, peccato per un errore contando i numeri primi.

Per concludere, dimostriamo per induzione che $2^n > n^3$ per tutti gli $n$ maggiori o uguali a $10$. Ho fatto un induzione un po' strana, ma spero sia giusta. Passo base: controlliamo dei casi e notiamo che per $n$ maggiori di $9$ funziona. Supponiamo funzioni per tutti gli $n > 9$. Avremo quindi $...

Se fai vedere che e' possibile dividere un quadrato in $n$ quadratini, $n+1$ quadratini, ed $n+2$ quadratini, hai finito. Basta notare infatti che preso un qualsiasi quadratino della figura, possiamo a sua volta dividerlo in $4$ parti uguali, "generando" così $3$ nuovi pezzi. Prendi in considerazion...