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$x^3=i$.

Causa svista inerente la sezione, riposto sperando non sia un disturbo. Il popolo degli uneF, per motivi apparentemente sconosciuti, ragiona spesso in base $3$. Durante una giornata di pioggia, il vecchio del villaggio (il cui nome rimarrà sconosciuto per almeno un'altra settimane), si rese conto ch...

Problema simpatico, spero di non aver commesso errori avendolo risolto di fretta. $a)$ $\fbox{Tutti gli n diversi da 2}$. Posto $a=(n-1)^{n-1}$ e $b=(n-1)^{n}$ (che, per $n>2$ sono entrambi $>1$), si ha banalmente $$((n-1)^{n-1})^{(n-1)^{n-1}\cdot n}=((n-1)^{n})^{(n-1)^{n}}$$ che dimostra che $a, b$...

Scusa se rispondo solo oggi. Hai perfettamente ragione! Ho deciso però di metterlo in questa sezione dopo aver trovato che formulazioni simili di questo problema sono state postate su Arts of Problem Solving con tag inerenti alla teoria dei numeri, oltre che essere presente nella sezione $Arithmetic...

Il realtà dato che i nostri coefficienti non sono quelli di grado divisibile per $3$, ma quelli congrui ad $1$ mod $3$, il polinomio che consideriamo non è il $p(x)$ del testo, ma bensì $x^2p(x)$ che ha i coefficienti "shiftati bene".

Corretto .

Il popolo degli uneF, per motivi apparentemente sconosciuti, ragiona spesso in base $3$. Durante una giornata di pioggia, il vecchio del villaggio (il cui nome rimarrà sconosciuto per almeno altre 3 settimane), si rese conto che: Detto $K$ il sottoinsieme di $[0, 1]$ contenente tutti i reali aventi ...

L'ho fatto velocemente a cena, dovrebbe essere corretto, aspetto risposte. Supponiamo $n\geq7$. Segue che, detto $f(n)=(n^2+11n-4)*n!+33*13^n+4$, allora valgono \begin{cases} f(n)\equiv 5*(-1)^n +4\equiv k^2 \pmod{7} \\ f(n)\equiv 5^n+4 \equiv k^2 \pmod{8}. \end{cases} La prima equazione ci porta a ...

Lascio un abbozzo di dimostrazione con Vieta's-Jumping. Riscriviamo l'espressione del testo come $\frac{m^2+m+n^2+n}{mn}=k$. Dimostriamo ora che, data una qualsiasi soluzione $(m, n, 3)$ è possibile ricavare una soluzione $(m', n', 3)$ tale che $min(m, n)<min(m', n')$. Cominciamo esibendo una soluzi...

Giusto .

Sia $d$ il massimo comun divisore dei numeri della forma $p^8-1$ con $p$ primo $>5$. Sia ora $q$ un primo che divide $d$. Notiamo che, se $q>5$ allora $q|q^8-1$, che è ovviamente falso dato che altrimenti $q|1$. Segue che $q\leq5$: $d$ avrà quindi solo fattori primi minori di $7$. Controlliamo ora p...

Comincia la lunga attesa. In bocca al lupo a tutti!

Diciamo che le risposte sono quelle ma... quando parlavo di "prendere familiarità" con i conti, intendevo letteralmente imparare a semplificare e lavorare con quelle espressioni.. Entrambi i problemi hanno risposte "chiuse", senza polinomi o somme. Prova a semplificare. Esempio: Dato che \omega è un...

Hai perfettamente ragione, ti ringrazio. Se non sbaglio dovrei poter correggere semplicemente assumendo ad inizio della dimostrazione $p, q$ coprimi, altrimenti mi basterebbe considerare la stessa partizione però per gli interi multipli di $mcd(p, q)$. Ciò mi porta alla concluzione che i $p, q$ vali...

Spero di averlo fatto giusto e di non aver sbagliato in qualche induzione, aspetto correzioni.. Dato che non sappiamo quali elementi appartengo ad $A, B, C$, diremo semplicemente che tre elementi stanno negli insieme $i, i+1, i+2$, dove questi indici sono visti in modulo 3 Ho cominciato costruendo u...