La ricerca ha trovato 11 risultati

da Davide Di Vora
07 nov 2017, 16:42
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

5.2
Sia $P(x;y;z)$ la disuguaglianza funzionale del testo.
Da $P(x;0;0)$ ottengo
$$f(0)\ge f(x)$$
Da $P(x;x;-x)$ ottengo
$$f(2x) \ge f(0)$$
e quindi
$$f(0) \ge f(x) \ge f(0)$$
Da cui $f(x)=f(0)$ che sostituendo si verifica che è soluzione.
da Davide Di Vora
24 ott 2017, 16:41
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

4.3 Sia $P(x;y)$ l'equazione funzionale del testo. Fissando $x$ otteniamo che il $RHS$ può variare su tutto $\mathbb{R}$ e quindi $f$ è surgettiva. Siano ora $a$ e $b$ due reali tali che $f(a)=f(b)$, allora da $P(1;a)$ e $P(1;b)$ ottengo $$a+f(1)=f(f(a)+1)=f(f(b)+1)=b+f(1)$$ e quindi $a=b$, da cui s...
da Davide Di Vora
08 ott 2017, 19:37
Forum: Algebra
Argomento: Quando non si riesce a dormire...
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Re: Quando non si riesce a dormire...

Dimostro che il massimo è $k=\frac{9}{2}$ che si può ottenere ponendo $a=b=c=1$ Applico ora la disuguaglianza di Jensen sulla funzione $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ $$f(a^2+3)+f(b^2+3)+f(c^2+3)\ge 3f(\frac{a^2+b^2+c^2+9}{3})$$ Mi basta quindi dimostrare $$\frac{3}{\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+9}{3}}}\ge \fra...
da Davide Di Vora
14 set 2017, 17:42
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Non ho voglia di inventare un titolo
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Re: Non ho voglia di inventare un titolo

Dimostro che non ci sono soluzioni, ovvero che $N$ divide $a^N-a$ per ogni intero $a$. Mi basta quindi verificare che $p$, $q$ e $r$ dividono $a^N-a$ Scrivo quindi $$pq-1=\frac{(r+4)(r-1)}{6}$$ $$pr-1=\frac{(q-1)(3q+5)}{4}$$ $$qr-1=(6p-1)(p-1)$$ Dove tutte le quantità sono intere per come è definito...
da Davide Di Vora
19 ago 2017, 20:36
Forum: Geometria
Argomento: Quando due rette concorrono
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Re: Quando due rette concorrono

Sia $\omega$ l'inscritta di $\triangle ABC$. $\omega$ tange $BC$ in $Z$ e sia $U$ il punto diametralmente opposto a $Z$ in $\omega$; dimostriamo che $EX$ e $FY$ concorrono in $U$. Notiamo che: $P$ è il centro di similitudine interna tra $\omega_B$ e $\omega_C$ $C$ è il centro di similitudine esterna...
da Davide Di Vora
19 ago 2017, 20:16
Forum: Geometria
Argomento: Allineamento a quattro
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Re: Allineamento a quattro

Notiamo anzitutto che $Q$ è il punto di Miquel del quadrilatero completo formato dalle rette $AC$, $BD$, $CD$, $AB$ e $CD$, questo perché tale punto si deve trovare sulle circoscritte di $\triangle ACP$ e di $\triangle BDP$, ma non può essere $P$ perché si deve trovare anche sulle circoscritte di $\...
da Davide Di Vora
16 giu 2017, 17:51
Forum: Algebra
Argomento: Disuguaglianza Schurosa 1
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Re: Disuguaglianza Schurosa 1

Sfruttiamo il vincolo per omogenizzare e riscriviamo come
$$9abc+(a+b+c)^3 \ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
Sviluppando e usando la notazione delle somme simmetriche otteniamo
$$ [3,0,0]+4[1,1,1]+6[2,1,0] \ge 8[2,1,0]+3[1,1,1]$$
Ci resta quindi
$$[3,0,0]+[1,1,1]\ge 2[2,1,0]$$
Che è vero per Schur
da Davide Di Vora
16 giu 2017, 17:40
Forum: Algebra
Argomento: Disuguaglianza Schurosa 2
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Re: Disuguaglianza Schurosa 2

Altrimenti si può fare senza Schur Riscriviamo usando la formula di Erone per l'area $$abc(a+b+c) \ge 16p(p-a)(p-b)(p-c)$$ Facciamo ora la seguente sostituzione: $$a=x+y$$ $$b=y+z$$ $$c=z+x$$ Con $x$,$y$ e $z$ reali positivi $$2(x+y+z)(x+y)(y+z)(z+x)\ge 16(x+y+z)xyz$$ Semplificando ci resta $$(x+y)(...
da Davide Di Vora
16 giu 2017, 16:54
Forum: Algebra
Argomento: Disuguaglianza Schurosa 2
Risposte: 5
Visite : 557

Re: Disuguaglianza Schurosa 2

Siano $S_A$, $S_B$ e $S_C$ la notazione di Conway Ricordiamo che vale $$S_A S_B+S_B S_C+S_C S_A=4S^2$$ Sviluppando tutto e usando la notazione delle somme simmetriche otteniamo $$[4,0,0]+[2,1,1] \ge 2[2,2,0]$$ Per Schur abbiamo $$[4,0,0]+[2,1,1] \ge 2[3,1,0]$$ Per Bunching abbiamo $$[3,1,0] \ge [2,2...
da Davide Di Vora
14 giu 2017, 11:05
Forum: Algebra
Argomento: Un classico.
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Re: Un classico.

Hai ragione ho sbagliato a scrivere
da Davide Di Vora
14 giu 2017, 10:52
Forum: Algebra
Argomento: Un classico.
Risposte: 6
Visite : 609

Re: Un classico.

Sviluppando i conti otteniamo $$abc(a+b+c)^2\ge 3abc+2(a+b+c)$$ Notiamo che per il vincolo vale $$abc(a+b+c)^2\ge abc(1/a+1/b+1/c)(a+b+c)=3abc+\sum_{cyc} a^2b+\sum_{cyc} ab^2$$ Applicando il lemma di Titu a $(a,b,c)$ e $(1/b, 1/c, 1/a)$ otteniamo $$\sum_{cyc} a^2b \ge (a+b+c)^2/(1/a+1/b+1/c) \ge a+b...