La ricerca ha trovato 19 risultati

da Davide Di Vora
30 ago 2019, 20:53
Forum: Geometria
Argomento: Exinscritta e tangenti
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Re: Exinscritta e tangenti

Siano $I_a$ l'ex-centro opposto al vertice $A$, $X$ la seconda intersezione di $AD$ con $\omega$, $N$ il punto medio di $DX$ e $T\equiv BC\cap EF$. Visto che $I_aN \perp DX$, i punti $A$, $E$, $F$, $I_a$ e $N$ si trovano sulla circonferenza di diametro $AI_a$. Quindi $$PD \cdot QD=2DM\cdot DN=DM \cd...
da Davide Di Vora
11 ago 2019, 14:57
Forum: Geometria
Argomento: Retta tangente e segmenti congruenti
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Re: Retta tangente e segmenti congruenti

Noto che
$$\angle AQP=\angle QMK=\angle MLK$$
e
$$\angle APQ=\angle PML= \angle MKL$$
e quindi i triangoli $\triangle AQP$ e $\triangle MLK$ sono simili in questo ordine e dunque $AQ \cdot MK= AP \cdot ML$ e quindi
$$OP^2-R^2=AP \cdot PC=AQ \cdot QB=OQ^2-R^2$$
e questo dimostra la tesi.
da Davide Di Vora
14 lug 2019, 18:16
Forum: Algebra
Argomento: Disuguaglianza Forte
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Re: Disuguaglianza Forte

Dimostro per prima cosa che vale $$\frac{1}{\sqrt{3x^2+x+1}}\ge \frac{17}{10\sqrt{5}}-\frac{7x}{10\sqrt{5}}$$ Noto che se $x>\frac{17}{7}$ vale $$\frac{1}{\sqrt{3x^2+x+1}}\ge 0 \ge \frac{17}{10\sqrt{5}}-\frac{7x}{10\sqrt{5}}$$ e dunque in questo caso la disuguaglianza è vera. Mi resta il caso $0\le ...
da Davide Di Vora
03 feb 2019, 12:16
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: So che è banale ma non mi viene
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Re: So che è banale ma non mi viene

Una prima idea portebbe essere:
$$z=\frac{x^2-y^2}{2xy}$$
(questo ovviamente non si può fare in tutti i casi)
da Davide Di Vora
31 mar 2018, 16:48
Forum: Geometria
Argomento: Viene bene in baricentriche
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Re: Viene bene in baricentriche

Dimostro ora che $\Gamma$ tange l'inscritta di $\triangle ABC$. Sia $Z$ l'intersezione tra $AI$ e $BC$, sia $B'$ il simmetrico di $B$ rispetto a $AI$ (che ovviamente sta su $AC$) e sia $P$ il punto all'infinito della retta $BX$. Allora $$(B',B,X,P)=-1$$ Proiettando il birapporto da $C$ su $AI$, rico...
da Davide Di Vora
30 mar 2018, 22:05
Forum: Geometria
Argomento: Viene bene in baricentriche
Risposte: 5
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Re: Viene bene in baricentriche

Ho corretto
da Davide Di Vora
25 mar 2018, 18:34
Forum: Geometria
Argomento: Viene bene in baricentriche
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Re: Viene bene in baricentriche

Sia $\Gamma$ la circoscritta a $\triangle AST$ e $\omega$ la circostritta a $XTYS$. Dimostro che $\Gamma$ tange la circoscritta a $\triangle ABC$. Sia $I$ l'incentro di $\triangle ABC$. Noto che $$90-\frac{\alpha}{2}= \angle FDE=\angle YDE$$ $$\angle EIY=\angle EIA+\angle AIY=90-\frac{\gamma}{2}+180...
da Davide Di Vora
18 mar 2018, 19:47
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
Risposte: 67
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Re: Algebra learning

14.2 Le soluzioni sono $f(x)=x$, $f(x)=0$ e $f(x)=2$, che sostituendo verificano. Sia P(x;y) l'equazione funzionale del testo. Da P(0;0) ottengo $f(0)=0$ o $f(0)=2$. Suddivido il problema in due casi: 1. $f(0)=2$ Da $P(x;0)$ ottengo la soluzione $f(x)=2$. 2. $f(0)=0$ Da $P(2;2)$ ottengo $f(2)=2$ o $...
da Davide Di Vora
07 nov 2017, 16:42
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
Risposte: 67
Visite : 20396

Re: Algebra learning

5.2
Sia $P(x;y;z)$ la disuguaglianza funzionale del testo.
Da $P(x;0;0)$ ottengo
$$f(0)\ge f(x)$$
Da $P(x;x;-x)$ ottengo
$$f(2x) \ge f(0)$$
e quindi
$$f(0) \ge f(x) \ge f(0)$$
Da cui $f(x)=f(0)$ che sostituendo si verifica che è soluzione.
da Davide Di Vora
24 ott 2017, 16:41
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
Risposte: 67
Visite : 20396

Re: Algebra learning

4.3 Sia $P(x;y)$ l'equazione funzionale del testo. Fissando $x$ otteniamo che il $RHS$ può variare su tutto $\mathbb{R}$ e quindi $f$ è surgettiva. Siano ora $a$ e $b$ due reali tali che $f(a)=f(b)$, allora da $P(1;a)$ e $P(1;b)$ ottengo $$a+f(1)=f(f(a)+1)=f(f(b)+1)=b+f(1)$$ e quindi $a=b$, da cui s...
da Davide Di Vora
08 ott 2017, 19:37
Forum: Algebra
Argomento: Quando non si riesce a dormire...
Risposte: 4
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Re: Quando non si riesce a dormire...

Dimostro che il massimo è $k=\frac{9}{2}$ che si può ottenere ponendo $a=b=c=1$ Applico ora la disuguaglianza di Jensen sulla funzione $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ $$f(a^2+3)+f(b^2+3)+f(c^2+3)\ge 3f(\frac{a^2+b^2+c^2+9}{3})$$ Mi basta quindi dimostrare $$\frac{3}{\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+9}{3}}}\ge \fra...
da Davide Di Vora
14 set 2017, 17:42
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Non ho voglia di inventare un titolo
Risposte: 2
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Re: Non ho voglia di inventare un titolo

Dimostro che non ci sono soluzioni, ovvero che $N$ divide $a^N-a$ per ogni intero $a$. Mi basta quindi verificare che $p$, $q$ e $r$ dividono $a^N-a$ Scrivo quindi $$pq-1=\frac{(r+4)(r-1)}{6}$$ $$pr-1=\frac{(q-1)(3q+5)}{4}$$ $$qr-1=(6p-1)(p-1)$$ Dove tutte le quantità sono intere per come è definito...
da Davide Di Vora
19 ago 2017, 20:36
Forum: Geometria
Argomento: Quando due rette concorrono
Risposte: 4
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Re: Quando due rette concorrono

Sia $\omega$ l'inscritta di $\triangle ABC$. $\omega$ tange $BC$ in $Z$ e sia $U$ il punto diametralmente opposto a $Z$ in $\omega$; dimostriamo che $EX$ e $FY$ concorrono in $U$. Notiamo che: $P$ è il centro di similitudine interna tra $\omega_B$ e $\omega_C$ $C$ è il centro di similitudine esterna...
da Davide Di Vora
19 ago 2017, 20:16
Forum: Geometria
Argomento: Allineamento a quattro
Risposte: 5
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Re: Allineamento a quattro

Notiamo anzitutto che $Q$ è il punto di Miquel del quadrilatero completo formato dalle rette $AC$, $BD$, $CD$, $AB$ e $CD$, questo perché tale punto si deve trovare sulle circoscritte di $\triangle ACP$ e di $\triangle BDP$, ma non può essere $P$ perché si deve trovare anche sulle circoscritte di $\...
da Davide Di Vora
16 giu 2017, 17:51
Forum: Algebra
Argomento: Disuguaglianza Schurosa 1
Risposte: 1
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Re: Disuguaglianza Schurosa 1

Sfruttiamo il vincolo per omogenizzare e riscriviamo come
$$9abc+(a+b+c)^3 \ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
Sviluppando e usando la notazione delle somme simmetriche otteniamo
$$ [3,0,0]+4[1,1,1]+6[2,1,0] \ge 8[2,1,0]+3[1,1,1]$$
Ci resta quindi
$$[3,0,0]+[1,1,1]\ge 2[2,1,0]$$
Che è vero per Schur