La ricerca ha trovato 10 risultati

da Ventu06
12 nov 2017, 19:32
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Successione multipla degli indici
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Re: Successione multipla degli indici

Caso $n=1$: $a_1$ è intero, quindi $1$ è un suo divisore. Altrimenti scomponiamo $n$ in fattori primi: $n=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \dots p_k^{e_k}$ ; poniamo $m=2^{p_1^{e_1-1} p_2^{e_2-1} \dots p_k^{e_k-1}}$ Attraverso la formula di inversione di Mobius troviamo che $a_n = \sum\limits_{d \mid n} \mu \le...
da Ventu06
05 lug 2017, 21:11
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Senior 2017
Risposte: 175
Visite : 27578

Re: Senior 2017

Nel problema G7 del PreIMO 2016 la tesi è falsa per alcune configurazioni, infatti i due angoli non sono uguali, bensì supplementari. Che faccio? Tratto tutte le configurazioni, modifico qualche ipotesi o semplicemente ignoro?
da Ventu06
22 giu 2017, 13:34
Forum: Glossario e teoria di base
Argomento: Somme simmetriche e Schur
Risposte: 8
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Re: Somme simmetriche e Schur

Io ho trovato questo, spiega sia la disuguaglianza di Schur che quella di Muirhead, oltre alla notazione $[3,1,0]$
(nelle prime righe distingui bene le $a$ dalle $\alpha$)
http://www.imomath.com/index.php?options=596&lmm=0
da Ventu06
21 giu 2017, 18:44
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Quadrati razionali
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Re: Quadrati razionali

Credo che siamo tutti d'accordo sul fatto che $\Bigg(\dfrac{1}{(a−b)}+\dfrac{1}{(b-c)}+\dfrac{1}{(c-a)}\Bigg)^2$ è il quadrato perfetto di un numero razionale ($a$,$b$,$c$ distinti). Riguardo questa parte $\dfrac{1}{(a−b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}=\Bigg(\dfrac{1}{(a−b)}+\dfrac{1}{(b-c...
da Ventu06
21 giu 2017, 00:09
Forum: Algebra
Argomento: Tsintsifas
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Visite : 629

Re: Tsintsifas

Iniziamo con qualche manipolazione del $LHS$: $\dfrac{p}{q+r}a^2+\dfrac{q}{r+p}b^2+\dfrac{r}{p+q}c^2 =$ $\dfrac{(p+q+r)-(q+r)}{q+r}a^2+\dfrac{(p+q+r)-(r+p)}{r+p}b^2+\dfrac{(p+q+r)-(p+q)}{p+q}c^2=$ $(p+q+r)\Bigg(\dfrac{a^2}{q+r}+\dfrac{b^2}{r+p}+\dfrac{c^2}{p+q}\Bigg)-(a^2+b^2+c^2)$ Ora applicando i...
da Ventu06
20 giu 2017, 23:17
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Quadrati razionali
Risposte: 4
Visite : 748

Re: Quadrati razionali

Con un po' di conti si dimostra che, per $a \neq b$, $b \neq c$ e $c \neq a$, $\dfrac{1}{(a−b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}=\Bigg(\dfrac{1}{(a−b)}+\dfrac{1}{(b-c)}+\dfrac{1}{(c-a)}\Bigg)^2$ Dato che somme, prodotti e rapporti di numeri razionali sono numeri razionali, il $RHS$ sarà semp...
da Ventu06
20 giu 2017, 15:32
Forum: Geometria
Argomento: "Ahh, Cos... or some say, Sin...
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Re: "Ahh, Cos... or some say, Sin...

Rilancio (semplice):
Sia $J$ l'intersezione tra $DE$ e $BP$, $K$ l'intersezione tra $DF$ e $CP$.
Dimostrare che $PJ=PK$.
da Ventu06
20 giu 2017, 15:20
Forum: Geometria
Argomento: "Ahh, Cos... or some say, Sin...
Risposte: 5
Visite : 703

Re: "Ahh, Cos... or some say, Sin...

Usiamo la notazione $a=BC$, $b=CA$ e $c=AB$, $S=[ABC]=$ area del triangolo $\triangle ABC$. Costruiamo l'asse di $a$ : esso passerà per il punto medio di $a$, che chiameremo $M_A$, per $A_1$, dato che $a$ è una corda di una circonferenza di centro $A_1$, e intersecherà il lato $b$ in un punto $N$. ...
da Ventu06
19 giu 2017, 13:43
Forum: Algebra
Argomento: Disuguaglianza Schurosa 4
Risposte: 4
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Re: Disuguaglianza Schurosa 4

Sviluppando tutto, moltiplicando entrambi i membri per $6(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2$ e raccogliendo i termini in somme simmetriche, abbiamo: $3[6:0:0]+12[5:1:0]+6[4:2:0]+12[4:1:1]+72[3:2:1]+23[2:2:2] \geq$ $12[4:2:0]+12[4:1:1]+12[3:3:0]+72[3:2:1]+20[2:2:2]$ Semplificando il tutto otteniamo: $[6:0:0]+4[5...
da Ventu06
17 giu 2017, 13:39
Forum: Geometria
Argomento: "Ahh, Cos... or some say, Sin...
Risposte: 5
Visite : 703

Re: "Ahh, Cos... or some say, Sin...

Facciamo un inversione di centro $A$ e di raggio $r=\sqrt{AB*AC}$ e successivamente una simmetria lungo la bisettrice di $B\widehat{A}C$. Chiamando $P'$ ogni punto $P$ dopo la trasformazione, abbiamo che: $B'$ va in $C$ e viceversa; $B'C'$ va nella circoscritta ad $\triangle ABC$ e viceversa; la re...