La ricerca ha trovato 15 risultati

da Ventu06
05 mag 2019, 13:37
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: BMO 2019
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Re: BMO 2019

Day 5 Sabato mattina ITA5 e ITA6 decidono di terminare il loro sonno, precedentemente tormentato dagli altri ITAn, allora ancora assopiti, per consumare la colazione in preparazione all'imminente competizione. Nel tragitto, viene più evocato il nome del fratello di ITA4, probabilmente diventato legg...
da Ventu06
07 dic 2018, 16:49
Forum: Geometria
Argomento: Distanze in un poligono regolare
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Re: Distanze in un poligono regolare

Il claim è giusto e la via che hai proposto porta a buoni risultati. Forse questo problema sembra richiedere l'utilizzo dell'analisi (che infatti aiuta) e non molto quello della "geometria", per questo non mi era sembrato molto adatto, ma è possibile evitarla (quasi) del tutto grazie ad alcune inter...
da Ventu06
02 ott 2018, 22:21
Forum: Geometria
Argomento: Distanze in un poligono regolare
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Distanze in un poligono regolare

Consideriamo un poligono regolare di $n \ge 3$ lati e chiamiamo i sui vertici $V_1, V_2, \dots , V_n$. Per ogni punto $P$ del piano, definiamo $f(P) = \prod\limits_{i=1}^{n} |P-V_i|$ cioè il prodotto di tutte le distanze dal punto ai vertici del poligono. Trovare tutti i punti $P$ interni (compreso ...
da Ventu06
27 feb 2018, 18:01
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Le differenze quadrano
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Re: Le differenze quadrano

Consideriamo l'espressione iniziale $3x^2+x=4y^2+y$ e risolviamola come equazione in $x$: $x=\frac{1}{6}(\sqrt{48y^2+12y+1}-1)$ Affinchè $x$ sia intero, il termine sotto la radice deve essere un quadrato, quindi $k^2=48y^2+12y+1$ Risolviamo quest'espressione come equazione in $y$ $y=\frac{1}{24}(\s...
da Ventu06
27 feb 2018, 10:56
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Triangoletto
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Re: Triangoletto

Problema bonus (own):

Un triangolo ha per lati tre interi primi fra loro. L'area è i 2/5 del prodotto tra i due lati maggiori. Dimostrare che esistono infiniti triangoli a due a due non congruenti di questo tipo.
da Ventu06
12 nov 2017, 19:32
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Successione multipla degli indici
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Re: Successione multipla degli indici

Caso $n=1$: $a_1$ è intero, quindi $1$ è un suo divisore. Altrimenti scomponiamo $n$ in fattori primi: $n=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \dots p_k^{e_k}$ ; poniamo $m=2^{p_1^{e_1-1} p_2^{e_2-1} \dots p_k^{e_k-1}}$ Attraverso la formula di inversione di Mobius troviamo che $a_n = \sum\limits_{d \mid n} \mu \le...
da Ventu06
05 lug 2017, 21:11
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Senior 2017
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Re: Senior 2017

.
da Ventu06
22 giu 2017, 13:34
Forum: Glossario e teoria di base
Argomento: Somme simmetriche e Schur
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Re: Somme simmetriche e Schur

Io ho trovato questo, spiega sia la disuguaglianza di Schur che quella di Muirhead, oltre alla notazione $[3,1,0]$
(nelle prime righe distingui bene le $a$ dalle $\alpha$)
http://www.imomath.com/index.php?options=596&lmm=0
da Ventu06
21 giu 2017, 18:44
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Quadrati razionali
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Re: Quadrati razionali

Credo che siamo tutti d'accordo sul fatto che $\Bigg(\dfrac{1}{(a−b)}+\dfrac{1}{(b-c)}+\dfrac{1}{(c-a)}\Bigg)^2$ è il quadrato perfetto di un numero razionale ($a$,$b$,$c$ distinti). Riguardo questa parte $\dfrac{1}{(a−b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}=\Bigg(\dfrac{1}{(a−b)}+\dfrac{1}{(b-c...
da Ventu06
21 giu 2017, 00:09
Forum: Algebra
Argomento: Tsintsifas
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Re: Tsintsifas

Iniziamo con qualche manipolazione del $LHS$: $\dfrac{p}{q+r}a^2+\dfrac{q}{r+p}b^2+\dfrac{r}{p+q}c^2 =$ $\dfrac{(p+q+r)-(q+r)}{q+r}a^2+\dfrac{(p+q+r)-(r+p)}{r+p}b^2+\dfrac{(p+q+r)-(p+q)}{p+q}c^2=$ $(p+q+r)\Bigg(\dfrac{a^2}{q+r}+\dfrac{b^2}{r+p}+\dfrac{c^2}{p+q}\Bigg)-(a^2+b^2+c^2)$ Ora applicando i...
da Ventu06
20 giu 2017, 23:17
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Quadrati razionali
Risposte: 4
Visite : 1544

Re: Quadrati razionali

Con un po' di conti si dimostra che, per $a \neq b$, $b \neq c$ e $c \neq a$, $\dfrac{1}{(a−b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}=\Bigg(\dfrac{1}{(a−b)}+\dfrac{1}{(b-c)}+\dfrac{1}{(c-a)}\Bigg)^2$ Dato che somme, prodotti e rapporti di numeri razionali sono numeri razionali, il $RHS$ sarà semp...
da Ventu06
20 giu 2017, 15:32
Forum: Geometria
Argomento: "Ahh, Cos... or some say, Sin...
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Re: "Ahh, Cos... or some say, Sin...

Rilancio (semplice):
Sia $J$ l'intersezione tra $DE$ e $BP$, $K$ l'intersezione tra $DF$ e $CP$.
Dimostrare che $PJ=PK$.
da Ventu06
20 giu 2017, 15:20
Forum: Geometria
Argomento: "Ahh, Cos... or some say, Sin...
Risposte: 5
Visite : 1454

Re: "Ahh, Cos... or some say, Sin...

Usiamo la notazione $a=BC$, $b=CA$ e $c=AB$, $S=[ABC]=$ area del triangolo $\triangle ABC$. Costruiamo l'asse di $a$ : esso passerà per il punto medio di $a$, che chiameremo $M_A$, per $A_1$, dato che $a$ è una corda di una circonferenza di centro $A_1$, e intersecherà il lato $b$ in un punto $N$. ...
da Ventu06
19 giu 2017, 13:43
Forum: Algebra
Argomento: Disuguaglianza Schurosa 4
Risposte: 4
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Re: Disuguaglianza Schurosa 4

Sviluppando tutto, moltiplicando entrambi i membri per $6(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2$ e raccogliendo i termini in somme simmetriche, abbiamo: $3[6:0:0]+12[5:1:0]+6[4:2:0]+12[4:1:1]+72[3:2:1]+23[2:2:2] \geq$ $12[4:2:0]+12[4:1:1]+12[3:3:0]+72[3:2:1]+20[2:2:2]$ Semplificando il tutto otteniamo: $[6:0:0]+4[5...
da Ventu06
17 giu 2017, 13:39
Forum: Geometria
Argomento: "Ahh, Cos... or some say, Sin...
Risposte: 5
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Re: "Ahh, Cos... or some say, Sin...

Facciamo un inversione di centro $A$ e di raggio $r=\sqrt{AB*AC}$ e successivamente una simmetria lungo la bisettrice di $B\widehat{A}C$. Chiamando $P'$ ogni punto $P$ dopo la trasformazione, abbiamo che: $B'$ va in $C$ e viceversa; $B'C'$ va nella circoscritta ad $\triangle ABC$ e viceversa; la re...