OliForum Matematico

@Gerald Lambeau: Attenzione, la formula per la valutazione $p$-adica dei fattoriali è $$ \sum_{k \ge 1} \left \lfloor \frac{n}{p^k} \right \rfloor $$ Non c'è $n!$ al numeratore! E infatti vale solo per il fattoriale, per un numero qualsiasi non c'è una formula 'analitica' che dipenda solo da quanto ...

Sam non te fà il ganzo con i più piccoli

Ciao, Noi del nostro anno di Scienze abbiamo raccolto quasi tutte le domande che ci hanno fatto l'orale, più qualche consiglio finale sulla preparazione. Lo mettiamo a disposizione di tutti quelli che vorranno provare nel 2015 a entrare in Normale. Uno special thanks va Dario Christopher Balboni che...

Eh già, me ne sono accorto stamattina! Nei punti in cui incollo un polinomio di grado $n$ a uno di grado $n+1$, la derivata $n+1$-esima fa un salto. Anche quella qui sotto è sbagliata, la editerò a breve (sono troppo frettoloso): Cambio idea, dunque, e dimostro che deve essere un polinomio dando per...

Posto una idea di dimostrazione del fatto che esistono funzioni non polinomiali che soddisfano la richiesta. Costruiamo ricorsivmente un insieme di polinomi $\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}_0 }$ rispettivamente da $ [1/(n+1), 1/n ] $ a $\mathbb{R}$ e di grado $n$ in questo modo: $ f_1(x) = x$, e $f_{n+1}$...

Posto un problemino che ho trovato assai carino, anche se credo abbastanza classico. Sia \(R\) l'anello delle funzioni continue da \([0,1]\) in sè dotato delle usuali operazioni \(+,\cdot\) tra funzioni. Sia \(U\) un ideale massimale. Dimostrare che \(U=U_{\gamma}=\{f \in R: \ f(\gamma)=0\}\) per qu...

Per chi si era appassionato alle sommissime infinite, eccoci con una nuova chicca:
Sia \(P= \{n \in \mathbb{N}: \ \exists \ a,b \ge 2 \ \ a^b=n \} \) l'insieme di tutti i naturali esprimibili come potenza. Dimostrare che
\[ \sum_{n \in P} \frac{1}{n-1} = 1\]

Siano \( p_1, \ldots, p_k\) interi positivi qualunque. Dimostriamo che \(\forall c \in \mathbb{R}^+\) si ha \(f(n) < cn\) definitivamente. Ubi sunt. Fissiamo un \(n \) naturale. Sia \(m=\sum_{i=1}^k a_i^{p_i}\) per alcuni \(a_i\), con \(1 \le m \le n\). Sicuramente \( 0 \le a_i \le n^{1/p_i}\), per...

Mah, ehm... l'ho messa in MNE perchè serve la nozione di gruppo, ma non è che sia tanto MNE. :D Sia \( (G,*)\) un insieme munito di una operazione con le seguenti proprietà: 1. Esistenza del neturo, esistenza dell'inverso; 2. Invece dell'associatività, abbiamo la proprietà del "semplinverso": \(\for...

Naah, non gredo. Tipo prendiamo \(a_i = 2^{i-1}\). A sinistra abbiamo \(2\) elevato alla \[ S_1 = \sum_{k=1}^{n-1} (k-1) 2^k + n \ge \sum_{k=2}^{n-1}2^{k} = 2^n - 4\] mentre a destra abbiamo \(2 \) elevato alla \( S_2 =n(n-1)/2\), tutto fattoriale. La valutazione duadica di destra è (perchè?) \[ S_3...

Fissiamo un intero \(n \ge 2\). Sulla lavagna ci sono scritti gli elementi di un certo insieme finito \(A\) di naturali. Possiamo fare solo una mossa: se troviamo un sottoinsieme \(S\) tale che la somma dei suoi elementi è divisibile per \(n\), allora possiamo cancellare un elemento a nostro piacime...

Aetwaf, la soluzione è corretta. Ma c'è più della correttezza in una soluzione! Cerca di farla bella, insomma, hai una cosa interessante tra le mani, non te la bruciare con frasi lapidarie e confuse! Prova a fare delle frasi complete, a far capire con la struttura della dimostrazione dove vuoi arriv...

Definizioni. Dati un gruppo \(G\) e una \(n\)-upla ordinata di numeri interi \(A = (a_1, \ldots, a_n)\), siano: \(\displaystyle \mathcal{P}_n(G) = \{ (x_1, \ldots, x_n): x_i \in G, \ \ \forall i,j \ \ x_i \neq x_j \}\), dove si intende che \( (x_1, \ldots, x_n)\) è una \(n\)-upla ordinata; \( \disp...

Mmm, a me pare di aver dimostrato che modulo 29 faccia 6, e questo programmino (che su tutti gli altri primi \(\ge 11\) da 0) pare confermarlo! :( https://drive.google.com/file/d/0BzYQj6I3yxOkOVJYU2dJTkgxbVU/edit?usp=sharing Questo è il sorgente, per chi (giustamente!) volesse verificare che io non ...