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Ciao! Guarda, il post andrebbe in teoria dei numeri perchè le equazioni diofantee parlano di numeri interi. Comunque ti rispondo qui, magari lo sposteranno i moderatori :D Innanzitutto vediamo le Condizioni necessarie. Siano \(a,b,c,d\) degli interi, e sia \(m=MCD(a,b,c)\). Affinchè l'equazione in \...

Sii! Volentieri :) Una funzione strana: \(\mu(n)\) Sia \(n=p_1^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot p_k ^{\alpha_k}\) (*). Se c'è un \(\alpha_i \ge 2\), allora \(\mu(n)=0\); altrimenti \(\mu(n) = (-1)^{k}\). Inoltre \(\mu(1) = 1\). E' facile vedere che \(\mu(n)\) è moltiplicativa, ossia se \(a,b\) sono cop...

Siano: 1. \(A_n = \{1,\ldots,n\}\); 2. \(R_n= \{ a \in A_n : \ \ \forall p \in \mathbb{P} \ \ p^2 \nmid n\} = \{\mbox{squarefree } \le n \} \); 3. \(L_p= \{ a \le n \ : \ \ \exists p\in \mathbb{P} \ \ p^2 \mid a\}\); 4. \(\displaystyle P_n = \prod_{ p \le n} p\). La tesi è che \(|R_n| > \frac{n}{2}\...

Eeh, mi era rimasto in mente quel teorema non del tutto ovvio, e mi è venuta in mente una dimostrazione (che poi insomma, il grosso è dimostrare il teorema di Liouville, nonstante anche la sua dimostrazione non sia troppo complicata). Lo dimostrerò solo per gli algebrici di grado \(\ge 2\), che è la...

Vogliamo dimostrare che per induzione su \(n\) che, fissato \(d\), \( \binom{n}{d} > 2(d-1)(n-d-1)\), oppure che ho sbagliato. Caso base: \(n=d+2\). Si ha \[ \frac{(d+2)(d+1)}{2} \stackrel{?}{>} 2(d-1) \ \ \Leftrightarrow \ \ \ d^2 -d+6 \stackrel{?}{>} 0 \] Il \(\Delta\) è negativo e il coefficiente...

Vi propongo questa serie di "giochini" con le serie infinite, che trovo molto carine. Illustro prima brevemente il principio del prodotto di Eulero, per rendere accessibile questo post anche a chi non sa nulla dell'argomento. Eulero dixit: \[ \sum_{n \in \mathbb{N}_0 } \frac{1}{n} = \prod_...

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Non necessariamente lui, ma qualcuno si.

Dati \(n\) punti nel piano cartesiano \(P_1, \ldots, P_n\) tali che \(x_1 < \ldots < x_n\), determinare una condizione sufficiente e necessaria affinchè esistano \(n\) archi di circonferenza \(a_1, \ldots, a_n\) centrati in \(P_1, \ldots, P_n\) rispettivamente tali che: 1. La loro unione sia una cur...

Grazie, mi ero perso una costante che aveva fatto casino, niente di che. Viene anche a me così adesso (anche l'altra disuguaglianza)!
L'ho messo in MNE perchè già un'altra volta avevo messo un problema di stime e me lo hanno spostato

Siano \(n,m,k \in \mathbb{N_0}\). Sia \( \Psi(n,m,k)\) il numero di coprimi con \(n\) nell'intervallo \( [m,m+k]\). Dimostrare che \[ \Psi(n,m,k) \ge k \left ( 1+\frac{ \varphi(n)}{n}\right) +1- 2^{\omega(n)} \] dove \(\omega(n) = |\{p \in \mathbb{P}: \ \ p \mid n\}|\) e \( \varphi(n) = |\{a \in \{1...

Comunque, che la funzione distanza sia convessa lo si può verificare facilmente anche geometricamente: prendiamo un punto \(P\) di riferimento, e due punti \(A,B\) nel piano. Convessità vorrebbe che, detta \( f(\vec{X})\) la funzione distanza da \(P\), per qualsiasi \(t \in [0,1]\) si abbia \[ f( t ...

Comunque la soluzione contosa è una disequazione di secondo grado... c'è un modo più intuitivo?

Ah, scusate, sbagliai a leggere! Comunque si, l'idea è di andare per "bisezione" per far più veloci possibili. Stimo due valori \(n_s, n_d\) per cui sono certo che \( H(n_s) = g(n_s) - f(n_s) < 0 < g(n_d) - f(n_d) = H(n_d) \) e poi vedo che succede in mezzo, ossia se \(H( (n_s+n_d)/2)\) è ...