OliForum Matematico

.. ma (a+b+c)^2 \geq 3a^2+3b^2+3c^2> (a+b)(b+c)(c+a) Credo sia sbagliato qualche verso.. poi, la seconda come la giustifichi? :oops: Fra le infinite cose che ho ancora da imparare quella da imparare più in fretta è non fare mai le cose in fretta. Ovviamente intendevo (a+b+c)^2 \leq 3a^2+3b^2+3c^2<(...

b+c \mid a^2 ; inoltre b+c \mid (b+c)(b+c+2a) . Sommando otteniamo che b+c \mid (a+b+c)^2 . (a+b+c)^2 è quindi multiplo di a+b , b+c e c+a ; inoltre questi ultimi tre valori sono coprimi in quanto se un primo dividesse sia a+b che b+c (ad esempio) esso dovrebbe dividere anche rispettivamente c^2 e ...

Ponendo $ n=p+q-k $ otteniamo$ k^2-(2p+2q+3)k+2pq=0 $.
Le radici (intere) dell'equazione devono avere prodotto $ 2pq $ e somma $ 2p+2q+3 $; è facile verificare che si ha soluzione solo per le coppie di primi (2, 3) e (3,7).

Bene, vai Sonner

Siano $ p $ e $ q $ primi con $ q>5 $. Si dimostri che se $ q \mid 2^p+3^p $, allora $ q>p $.

Attenzione. Controesempio: $ f(15)=4 $.

Claudio. ha scritto:Edit
Non mi ero reso conto che il minore stretto complica le cose.

In effetti è proprio il minore stretto che dovevo mettere, scusami. Edito subito.

Boh... è una cosa che ho pensato oggi, spero che non sia una cattiva idea pubblicarla qui...
Trovare una funzione (algebrica) $ f(n) $ $ N \rightarrow R $ tale che, per ogni scelta di $ n>1 $, esista uno ed un solo naturale $ k $ per cui $ \displaystyle f(n) < \frac{(k)(k+1)}{2}<n $

si vede che $100a^2+20ab$ non influenza le prime due cifre di $n^2$, quindi per forza $b^2=89$, assurdo. Non vorrei prendere un'altra cantonata, ma non mi torna. Hai dimostrato che a \geq 10 , non che 10 \mid a ... Affinchè 20ab \equiv 0 \pmod{100} almeno uno fra a e b dovrebbe essere multiplo di 5...

Ok, sono un idiota. ^^

Claudio. ha scritto:In $\LaTeX \pmod{a}$ si scrive

Codice: Seleziona tutto

\pmod{a}

Fin qui c'ero arrivato

2) \beta^2 \equiv 89 (mod 10^3 ) \rightarrow \beta \equiv \pm 33 (mod 10^3 ) Mi pareva strano questo passaggio, infatti con WolframAlpha si vede che può anche essere $b\equiv 283\pmod{1000}$, e altri... ;) P.S: usa \pmod{x} ;) Hai ragione, in quel passaggio per qualche motivo ho trattato 1000 come ...

1) 1089 \mid 10^k+89 \rightarrow 1089 \mid 10^{k-3}-1 \rightarrow ord_{1089}10 \mid k-3 \rightarrow k \equiv 3 (mod 22) 2) 10^k+89=1089 \alpha^2=\beta^2 \equiv 89 (mod 10^3 ) \rightarrow \beta \equiv \pm 33 (mod 10^3 ). \beta^2=(h10^3 \pm 33)^2 \equiv \pm 66h10^3+1089 \equiv (\pm6h+1)10^3+89 \not\eq...

Ciao eleonora, benvenuta

Io per il punto 1 avevo pensato un altro metodo: considerando l'equazione $n=a^2+b^2-c^2$ $mod 4$ con opportune scelte di $a,b,c$ ci verrà fuori che $n$ può essere $\equiv 0,1,2,3$ $mod 4$ da cui si può dedurre che tutti i numeri sono esprimibili. No, stai attento. Così dimostri solo che \forall 0 ...