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Alberto e Barbara hanno inventato il seguente gioco. All’inizio ci sono 2009 pile di monete, che indichiamo con $P_1, . . . , P_{2009}$. Ad ogni mossa ogni giocatore sceglie una pila $P_i$ non vuota e sposta un certo numero di monete a sua scelta (almeno una, al massimo tutte) da $P_i$ a $P_{i−1}$. ...

Ecco...il problema è il 4° di questa pagina....
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... d25038e979
cosa ho sbagliato a tradurre???

Eppure il testo non l'ho trascritto male, dice proprio $\displaystyle x_{n+1} = 1-\prod_{j=1}^{100}x_j$

Su una lavagna sono scritti i numeri $x_1,x_2,x_3,...,x_{100}$ e sappiamo che $x_1=\frac{1}{2}$, e per ogni $n=1,2,...,99$ si ha che $x_{n+1}=1-x_1\cdot x_2\cdot...\cdot x_{100}$.
Dimostrare che $x_{100}>0.99$

Alcune palline sono distribuite in $2n+1$ sacchetti. Supponiamo che, tolto un qualunque sacchetto, sia possibile suddividere i rimanenti in due gruppi di $n$ sacchetti, in modo che ciascun gruppo contenga lo stesso numero complessivo di palline. Dimostrare che i sacchetti contengono tutti lo stesso ...

Io l'avevo risolto in questo modo... Si vede subito che $x^2+5x+16$ è pari per ogni $x$, da qui, se deve essere divisibile per 169 e per 2 allora pongo $x^2+5x+16=169\cdot 2 \cdot n$ Da qui $x$ deve avere soluzioni intere, quindi il delta deve essere un quadrato perfetto...ma l'equazione $169\cdot 8...

Dimostrare che,per ogni intero $x$ , il numero $x^2+5x+16$ non è divisibile per 169.
Io credo di averlo risolto e vorrei confrontare la mia soluzione con le vostre...

Poniamo $2a+3b=11k$ da cui $a=\frac{11k-3b}{2}$ sostituendolo in $a^2-5b^2$ avremo che $\displaystyle a^2-5b^2=\frac{121k^2-11b^2-33kb}{4}$ che si può facilmente verificare essere divisibile per 11...

Luca può uscire con un insieme di 1,2,3...n amici. Quindi distinguiamo i casi... -quando esce con 1 persona lo può fare in $n$ modi, quindi sono $n$ euro -quando esce con 2 persone lo può fare in $\binom{n}{2}$ modi, ma ognuno di questi modi va moltiplicato per 2, dato che riceve 2 euro... -questo r...

Se devo essere sincero non ho capito il passaggio AM-GM, ma in ogni caso nell'ultima uguaglianza il primo termine non dovrebbe essere 24?

1)Siano $x,y,z$ numeri reali positivi tali che $\displaystyle\frac{4}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}=1$.
Determinare il minimo valore che può assumere l'espressione $x+8y+4z$.


2)Siano $x,y,z$ due reali positivi tali che $xy^2z^3=1$. Determinare il minimo valore che può assumere $x^2+y^3+z$.

Penso di aver trovato l'inghippo...karl ha semplicemente sbagliato a fare l'ultimo conto...se $x^2=\frac{1}{3}$ allora $l=\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$, che è uguale al risultato di kakkarone


karl mi ha anticipato di un secondo...

Io stavo approcciando il problema in maniera un po' diversa dalla tua...ho iniziato suddividendolo in casi: -se sul tavolo ci sono $n$ colonne con $2k+1$ monete ciascuna, banalmente vince chi fa la prima mossa, cioè A. -se sul tavolo ci sono $n$ colonne della forma $4k+2$ vince B. -se sul tavolo ci ...

Ah mi mancava il fratto 4 nella parte di sinistra, ora è chiarissimo