OliForum Matematico

Damiano D'Addezio ha cambiato idea e vorrebbe alloggiare con gli spesati.

Bene (l'ultima disuguaglianza è vera per Bernoulli). La mia sol è invece: prendo $ a_i=1+\frac{1}{n} $ per $ 1\leq i \leq n $ e $ a_{n+1}=1 $ e faccio AM-GM.

Dimostrare che $ (1+\frac{1}{n})^n<(1+\frac{1}{n+1})^{n+1} $ con $ n\in\mathbb{Z}^{+} $

Vediamo quante soluzioni troviamo!

Il sistema \sum_{j=1}^n a_{ij}(x_i+x_j+1)=0 ha almeno una sol per la simmetria degli a_{i,j} (poichè le conoscienze son simmetriche) e per il fatto che il coef di x_i della i-esima equazione è uguale al termine noto. Se infatti due equazioni (k e l) avessero gli stessi coef. allora in particolare de...

Va bene! Avanti col prossimo

In verità vale anche $ \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} < \frac{3}{2} $

HINT: il minimo comun multiplo è il più piccolo multiplo comune xD

Si, comunque se nessuno si cimenta tra un paio di giorni metto una soluzione.

Piazzo un hint:

Poichè F è centro della rotomotetia che manda AB in CD che si può dire su ABFE e CDEF?

Calcolare $$ \int^{2\pi}_{0}\frac{1}{a+b\cos x}dx $$ con $|a|>|b|$


Sapendo che $$\sum_{i=0}^{\infty}x^i=\frac{1}{1-x}$$ se $|x|<1$

Va bene, ecco qua

Le diagonali $ AC,BD $ di un quadrilatero $ ABCD$ si incontrano in $E$. Siano $M,N$ i punti medi di $AB, CD$ rispettivamente. Sia $F$ l'intersezione degli assi di $AB, CD$. Supponiamo che $EF$ incontri $BC,AD$ in $P,Q$ rispettivamente. Dimostrare che se $MF \cdot CD=NF \cdot AB$ e $DQ \cdot BP =AQ \...

Come al solito: prendo due rette parallele passanti per i 2 centri, traccio la retta per due intersezioni sensate e la interseco con la retta dei centri per trovare $O$

Più semplicemente Sia $O$ l'intersezione delle due tangenti e siano $E'$ , $F'$ le intersezioni della retta $OA$ (diverse da $A$) con le due circonferenze. Chiamo $G$ l'immagine di $E$ rispetto l'omotetia di centro $O$ che manda $\omega_1$ in $\omega_2$. Allora per Tolomeo su $AGF'F$ $$AF'\cdot FG= ...

Non hai capito perchè avevo aggiunto un ipotesi. :D Teorema 13 $(A,B,C,D)=(pol(A),pol(B),pol(C),pol(D))$ Dimo: Proietto su una retta passante per il centro e poi son 2 conti. Dimostrazione 10 Sia $D=pol(AB), E=pol(BC), F=pol(AC)$ e sia $S=AE\cap BF, T=BC \cap DF, U=BC\cap AE, V=DF\cap AE $ Allora $p...