OliForum Matematico

No, è tipo una seconda tesi. "Se $a+b+c\ge 1/a+1/b+1/c$, è necessariamente vero che $abc\ge1$?"

È come un uguale solo più formale (a volte si usano anche cose tipo $x\mapsto f(x)$ che non sono al massimo della formalità scritte $x=f(x)$).

Gerald Lambeau ha scritto: ↑

22 giu 2017, 17:48

Dunque, si può applicare o no Desargues considerando anche punti e rette all'infinito?

Be' dai è un teorema proiettivo, alla dimostrazione di Desargues non gliene frega niente se un punto esiste davvero oppure è all'infinito, quindi io direi proprio di sì.

"A occhio" non mi sembra un'ottimo modo di risolvere una funzionale. Non l'ho risolto io, però ho trovato una bellissima proprietà: Supponiamo per assurdo $f(0)\neq0$. Allora mandando $x\mapsto0$ e $z\mapsto y/f(x)$ si ottiene \[f(0)=f(z)\] per ogni $z$ reale, assurdo perché nessuna soluzione costan...

Trovare le soluzioni $x$, $y$, $z$ e $t$ reali tali che
\[x+y+z+t=-1;\]
\[\frac1x+\frac1y+\frac1z+\frac1t=-\frac52;\]
\[x^3+y^3+z^3+t^3=5.\]

Federico II ha scritto: ↑

20 giu 2017, 17:17

Ma piuttosto, RosalieFGD che spamma in russo?

Anche questo è da bannare.

Mi raccomando, non bannate Talete, lo dicevamo per scherzo eh

Confermo, ora sistemo.

Anche perché sarebbe stato dimensionalmente falso

Bannate Talete!!! Non lo sopporto più!!!

Per continuare il discorso disuguaglianze, posto questa, molto interessante. Tsintsifas è lo scopritore (pare). Siano $p$, $q$ ed $r$ reali positivi (serve davvero che siano positivi?) e siano $a$, $b$, $c$ i lati di un triangolo con area $S$. Dimostrare che \[\frac{p}{q+r}\cdot a^2+\frac{q}{r+p}\cd...

@nuoveolimpiadi1999: Sì, è corretto come dici tu.

Sono scomparsi i due post del ragazzo che aveva posto il problema però, o sbaglio?

La stessa cosa che io intendevo con $[A,B,C]$ qui

Ehm okay... un po' lunghi come conti... mannaggia

Drago96 ha scritto: ↑

19 giu 2017, 01:01

ma qua siamo al limite dell'ossessione.

Non è un'ossessione, più che altro non mi arrendo facilmente

$\mathcal A=[1:0:0]$, $\mathcal B=[0:1:0]$ e $\mathcal C=[0:0:1]$ La retta di Euler passa per $\mathcal G=[1:1:1]$ e $\mathcal H=[S_BS_C:S_CS_A:S_AS_B]$ e dunque ha equazione \[(S_C-S_B)S_Ax+(S_A-S_C)S_By+(S_B-S_A)S_Cz=0.\] Intersecando questa retta con la retta $x+y+z=0$ si ottiene il punto all'in...

Okay, allora scrivi $I=[a: b :c]$ e $O=[a^2S_A:b^2S_B:c^2S_C]$. Usi la formula della distanza tra $O$ ed $I$ e ti viene che la distanza al quadrato è uguale a $R^2-2Rr$, da cui la tesi.

Sí, Schur si dimostra in baricentriche.

Giuste entrambe! Oppure puoi anche usare le formule per il raggio inscritto e circoscritto, per ottenere $R\ge2r$, che è vera (disuguaglianza di Eulero).