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da karlosson_sul_tetto
08 lug 2017, 16:16
Forum: Geometria
Argomento: Di nuovo geometria in zona Macchiaroli
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Visite : 435

Re: Di nuovo geometria in zona Macchiaroli

Sia $\alpha=\angle ACB=\angle CBA$ e $\beta=\angle CBD$; segue che $\angle BAC=180-2\alpha$ Chiamato M il punto medio di BC, dato che ABC è isocele si ha $\angle BAM=\angle MAC=90-\alpha$. Sia D' il punto medio di AB (simmetrico rispetto AM di D), $BCDD'$ è ciclico in quanto trapezio isoscele e l'a...
da karlosson_sul_tetto
10 giu 2017, 16:06
Forum: Combinatoria
Argomento: Almeno 2
Risposte: 7
Visite : 596

Re: Almeno 2

assumiamo senza perdita di generalità (in quanto scelto uno dei due divisori, l'altro è univocamente determinato) che sia $k$ dispari (e quindi $k+2n+1$ pari): Scritto cosi è sbagliato, perché se scegli $k=3^2\cdot 5^3=1125$ i rimanenti fattori due dovrebbero stare tutti nell'altro fattore, ovvero ...
da karlosson_sul_tetto
07 giu 2017, 23:36
Forum: Algebra
Argomento: Funzionale a caso
Risposte: 12
Visite : 825

Re: Funzionale a caso

Posto anche la mia soluzione, non perché sia sostanzialmente diversa ma perché l'avevo già scritta in gran parte e mi dispiaceva lasciarla marcire. In compenso risolverò il problema nella sua versione generale, ovvero senza la seconda condizione. Chiamo (1) la formula del testo. Ponendo $x=y$ si ott...
da karlosson_sul_tetto
07 giu 2017, 21:46
Forum: Algebra
Argomento: Funzionale meno a caso
Risposte: 2
Visite : 231

Funzionale meno a caso

Trovare tutte le funzioni $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ che per ogni $x,y \in \mathbb{R}$ soddisfano:
$f(f(x-y))=f(x)-f(y)+f(x)f(y)-xy$
da karlosson_sul_tetto
07 giu 2017, 17:45
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: PreIMO 2017
Risposte: 16
Visite : 2187

Re: PreIMO 2017

Con immenso ritardo, aggiorno anch'io con gli eventi di questo stage per i futuri annali olimpici. -Gli strani metodi di lubrificazione di cip999 mediante l'utilizzo di dita e cacciaviti -Assistere ad uno scontro tra divinità con bacchette cinesi -Modi alternativi per risolvere in amore faide di lun...
da karlosson_sul_tetto
29 mag 2017, 17:10
Forum: Geometria
Argomento: Qualcuno ha lasciato un incerchio diviso soltanto a metà
Risposte: 3
Visite : 333

Re: Qualcuno ha lasciato un incerchio diviso soltanto a metà

Giusta! (attenzione però al teorema dei seni, le frazioni sono invertite :) )

Comunque un modo più veloce di concludere è usare il teorema della bisettrice su $\triangle ABC$ e $\triangle BPT$
da karlosson_sul_tetto
29 mag 2017, 17:05
Forum: Glossario e teoria di base
Argomento: eserciziario senior 2016
Risposte: 2
Visite : 273

Re: eserciziario senior 2016

Ciao, sul forum è già stato postato quello del senior 2014.

In allegato c'è quello del 2016, ma ha semplicemente un po' più di esercizi avanzati e un po' più tanti di esercizi base; per quest'ultimi alla fine non ne servono troppi, una volta capito il meccanismo.
da karlosson_sul_tetto
20 mag 2017, 20:58
Forum: Geometria
Argomento: Qualcuno ha lasciato un incerchio diviso soltanto a metà
Risposte: 3
Visite : 333

Qualcuno ha lasciato un incerchio diviso soltanto a metà

In un triangolo $ABC$ l'incerchio $\omega$ tange il lato $BC$ in $T$. Si sa che esiste un punto $P\in \omega$ tale che anche i punti medi dei segmenti $PB,PC$ appartengono a $\omega$. Dimostrare che $\angle BPT=\angle TPC$.
da karlosson_sul_tetto
10 mag 2017, 00:21
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Cesenatico 2017
Risposte: 19
Visite : 3679

Re: Cesenatico 2017

C'è da dire che si sente la mancanza di commenti da parte dei partecipanti, quindi tocca iniziare. È stato uno cesenatici più divertenti a cui abbia assistito, ho visto succedere cose che non avrei mai pensato fossero possibili (a buon intenditor poche parole :P ) Peccato solo per la pioggia l'ultim...
da karlosson_sul_tetto
01 mag 2017, 20:26
Forum: Combinatoria
Argomento: Stage a non finire
Risposte: 2
Visite : 325

Re: Stage a non finire

Boh, sei sicuro? Per definizione di soddisfatto , il numero di scappellotti deve aumentare per almeno $n-1$ stagisti. Dimostrare (lo lascio per esercizio) che se uno stagista è morto e quindi all'obitorio e dunque impossibilitato fisicamente a ricevere percosse allora è impossibile che Sam sia sodd...
da karlosson_sul_tetto
01 mag 2017, 13:56
Forum: Combinatoria
Argomento: Stage a non finire
Risposte: 2
Visite : 325

Stage a non finire

Ogni anno si tengono a Pisa alcuni stage di matematica. A questi partecipano $n$ stagisti, sempre gli stessi (sono ormai dei galleggianti anziani). Sam ad ogni stage dà $s_i$ scappellotti all'$i$-esimo stagista. Un'attenta equipe medica ha definito un numero intero positivo $a_i$ per ogni stagista c...
da karlosson_sul_tetto
30 apr 2017, 14:00
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Dubbio dimostrativo
Risposte: 7
Visite : 405

Re: Dubbio dimostrativo

Di nulla ;) Ma tantissime delle proprietà "note" di geometria ma non soltanto le puoi dare per scontate senza dimostrarle... ad esempio molte formule in baricentriche, e credo addirittura Lifting the Exponent! Penso molti correttori dissentano sulla parte delle baricentriche :P (anche se dipende da...
da karlosson_sul_tetto
29 apr 2017, 17:26
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Divisori della forma $n^2+1$
Risposte: 6
Visite : 515

Re: Divisori della forma $n^2+1$

Stiamo cercando i numeri con tutti i divisori della forma $n^2+1$; siccome $0^2+1=1$ possiamo considerare $n>0$. Caso 1: $n^2+1$ è primo In questo caso internet ci dice che si congettura che tali primi siano infiniti; per ora non ci possiamo fare nulla e sperare in questo anche noi. Caso 2: $n^2+1$ ...
da karlosson_sul_tetto
13 apr 2017, 19:43
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Urbi et Orbi 14
Risposte: 9
Visite : 595

Re: Urbi et Orbi 14

Ottimo per entrambe le parti :)
Ora come puoi scriverti $n$ in maniera più decente dalla seconda?
da karlosson_sul_tetto
13 apr 2017, 13:57
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Urbi et Orbi 14
Risposte: 9
Visite : 595

Re: Urbi et Orbi 14

Porta $q(q+1)$ dall'altro lato, fattorizzi e ottieni:
$p(p+1)=(n-q)(n+q+1)$
Ora sai che $p$ deve dividere uno dei due membri a destra, quindi hai due casi: prova a vedere a cosa riesci ad arrivare in ognuno di questi.